Giải bài 25,26,27 ,28,29,30 ,31,32,33 trang 52,53,54 Toán lớp 9 tập 2: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Giải bài 25,26,27 ,28,29,30 ,31,32,33 trang 52,53,54 Toán lớp 9 tập 2: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Giải bài 25 trang 52, bài 26,27,28 trang 53; bài 29,30,31,32,33 trang 54 SGK Toán 9 tập 2: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng – Chương 4 Đại số.

1. Hệ thức Vi-ét

Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của PT ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 thì:

2. Áp dụng:

Tính nhẩm nghiệm.

– Nếu PT ax² + bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì PT có một nghiệm x₁ = 1, còn nghiệm kia là x₂ = c/a

– Nếu PT ax² + bx + c = 0  có a – b + c = 0 thì PT có nghiệm là x₁ = -1, còn nghiệm kia là x₂ = -c/a

3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S² – 4P ≥ 0 thì hai số đó là hai nghiệm của PT: x² – Sx + P = 0

Đáp án và lời giải bài Hệ thức Vi-ét và ứng dụng Toán 9 tập 2 trang 52,53,54.

Bài 25. Đối với phương trình sau, kí hiệu x₁ và x₂ là hai nghiệm (nếu có). Không giải PT, hãy điền vào những chỗ trống (..):

a) 2x² – 17x + 1 = 0,   ∆ = …,  x₁ + x₂ = …,    x₁x₂ = …;

b) 5x² – x + 35 = 0,     ∆ = …, x₁ + x₂ = …,    x₁x₂ = …;

c) 8x² – x + 1 = 0,       ∆ = …, x₁ + x₂ = …,    x₁x₂ = …;

d) 25x² + 10x + 1 = 0,  ∆ = …, x₁ + x₂ = …,    x₁x₂ = …;

HD: a) 2x² – 17x + 1 = 0 có a = 2, b = -17, c = 1

∆ = (-17)² – 4 . 2 . 1 = 289 – 8 = 281

b) 5x² – x + 35 = 0 có a = 5, b = -1, c = -35

∆ = (-1)² – 4 . 5 . (-35) = 1 + 700 = 701

c) 8x² – x + 1 = 0 có a = 8, b = -1, c = 1

∆ = (-1)² – 4 . 8 . 1 = 1 – 32 = -31 < 0

PT vô nghiệm nên không thể điền vào ô trống được.

d) 25x² + 10x + 1 = 0 có a = 25, b = 10, c = 1

∆ = 10² – 4 . 25 . 1 = 100 – 100 = 0

Bài 26 trang 53. Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau :

a) 35x²– 37x + 2 = 0 ;                   b) 7x² + 500x – 507 = 0

c) x²–  49x – 50 = 0 ;                      d) 4321x² + 21x – 4300 = 0

HD: a) 35x²– 37x + 2 = 0 có a = 0, b = -37, c = 2

Do đó: a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0

nên x₁ =  1; x₂ = 2/35

b) 7x² + 500x – 507 = 0 có a = 7, b = 500, c = -507

Do đó: a + b + c = 7 + 500 – 507

nên x₁  =  1;  x₂ = -507/7

c) x²–  49x – 50 = 0 có a = 1, b = -49, c = -50

Do đó a – b + c = 1 – (-49) – 50 = 0

nên x₁  =  -1;  x₂ = – (-50/1) = 50

d) 4321x² + 21x – 4300 = 0 có a = 4321, b = 21, c = -4300

Do đó a – b + c = 4321 – 21 + (-4300) = 0

Bài 27. Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.

a) x² – 7x + 12 = 0;             b) x² + 7x + 12 = 0

LG: a) x² – 7x + 12 = 0 có a = 1, b = -7, c = 12

nên x₁ + x₂ = -7/1
= 7 = 3 + 4

x₁x₂ = 12/1
= 12 = 3 . 4

Vậy x₁ = 3, x₂ = 4.

b) x² + 7x + 12 = 0 có a = 1, b = 7, c = 12

nên x₁ + x₂ = -7/1
= -7 = -3 + (-4)

x₁x₂ = 12/1
= 12 = (-3) . (-4)

Vậy x₁ = -3, x₂ = -4.

Bài 28. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 32, uv = 231;            b) u + v = -8, uv = -105;

c) u + v = 2, uv = 9

LG: a) u và v là nghiệm của phương trình: x² – 32x + 231 = 0

∆’ = 16² – 231 = 256 – 231 = 25, √∆’ = 5 . x₁ = 21, x₂ = 11

Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11, v = 21

b) u, v là nghiệm của phương trình:

x² + 8x – 105 = 0, ∆’ = 16 + 105 = 121, √∆’ = 11 . x = -4 + 11 = 7

x₂ = -4 – 11 = -15

Vậy u = 7, v = -15 hoặc u = -15, v = 7

c) Vì 2² – 4 . 9 < 0 nên không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện đã cho.

Bài 29 trang 54 Toán 9 tập 2. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

a) 4x² + 2x – 5 = 0;                      b) 9x² – 12x + 4 = 0;

c) 5x² + x + 2 = 0;                       d) 159x² – 2x – 1 = 0

LG: a)  4x² + 2x – 5 = 0 có nghiệm vì a = 4, c = -5 trái dấu nhau nên

b)  9x² – 12x + 4 = 0 có ∆’ = 36 – 36 = 0

c)  5x²+ x + 2 = 0 có ∆ = 1² – 4 . 5 . 2 = -39 < 0

PT vô nghiệm, nên không tính được tổng và tích các nghiệm.

d) 159x² – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt vì a và c trái dấu

Bài 30. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.

a) x²– 2x +  m = 0;                        b) x² – 2(m – 1)x +  m² = 0

HD: a) PT x²– 2x +  m = 0 có nghiệm khi  ∆’ = 1 – m ≥ 0 hay khi m ≤ 1

Khi đó x₁ + x₂ = 2, x₁ . x₂ = m

b) PT x² – 2(m – 1)x +  m² = 0 có nghiệm khi

∆’ = m²  – 2m + 1 – m² = 1 – 2m ≥ 0 hay khi m  ≤ 1/2

Khi đó x₁ + x₂ = -2(m – 1), x₁ . x₂ = m²

Bài 31. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) 1,5x² – 1,6x + 0,1 = 0;           b) √3x² – (1 – √3)x – 1 = 0

c) (2 – √3)x² + 2√3x – (2 + √3) = 0;

d) (m – 1)x² – (2m + 3)x + m + 4 = 0 với m ≠ 1.

Đáp án: a) PT 1,5x² – 1,6x + 0,1 = 0

Có a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0 nên x₁ = 1; x₂ = 0,1/15

b) PT √3x² – (1 – √3)x – 1 = 0

Có a – b + c = √3 + (1 – √3) + (-1) = 0 nên x₁ = -1, x₂ = – (-1/√3) = √3/3

c) (2 – √3)x² + 2√3x – (2 + √3) = 0

Có a + b + c = 2 – √3 + 2√3 – (2 + √3) = 0

Nên x₁ = 1, x₂ =   = -(2 + √3)² = -7 – 4√3

d) (m – 1)x² – (2m + 3)x + m + 4 = 0

Có a + b + c = m – 1 – (2m + 3) + m + 4 = 0

Nên x₁ = 1, x₂ =

Bài 32 trang 54. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 42, uv = 441;                 b) u + v = -42, uv = -400;

c) u – v = 5, uv = 24.

LG: a) u + v = 42, uv = 441 => u, v là nghiệm của PT:

x² – 42x + 441 = 0

∆’ = 21² – 441 = 441 – 441 = 0, √∆’ = 0; x₁ = x₂ = 21

Vậy u = v = 21

b) u + v = -42, uv = -400, u, v là nghiệm của PT:

x² + 42x – 400 = 0

∆’ = 441 + 400 = 841, √∆’ = 29; x₁ = 8, x₂ = -50. Do đó:

u = 8, v = -50 hoặc u = -50, v = 8

c) u – v = 5, uv = 24. Đặt –v = t, ta có u + t = 5, ut = -24, ta tìm được:

u = 8, t = -3 hoặc u = -3, t = 8. Do đó:

u = 8, v = 3 hoặc u = -3, t = 8.

Bài 33. Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm là x₁ và x₂ thì tam thức ax² + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a)    2x² – 5x + 3;                     b) 3x² + 8x + 2.

HD: Biến đổi vế phải: a(x – x₁)(x – x₂) = ax² – a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂

Vậy PT ax²+ bx + c = 0 có nghiệm là x₁, x₂ thì:

ax²+ bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

Áp dụng:

a) PT 2x² – 5x + 3 = 0 có a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0 nên có hai nghiệm là x₁ = 1, x₂ = 3/2
nên:

2x² – 5x + 3 = 2(x – 1)(x₂ – 3/2) = (x – 1)(2x – 3)

b) PT 3x² + 8x + 2 có a = 3, b = 8, b’ = 4, c = 2.

Nên ∆’ = 4² – 3 . 2 = 10, có hai nghiệm là: