Giải bài 23,24,25 ,26,27,28 ,29,30 trang 66,67 SGK Toán 7 tập 2: Tính chất ba đường trung tuyến của…

Tóm tắt lý thuyết và Giải bài 23,24 trang 66; Bài 25,26,27,28 ,29,30 trang 67 SGK Toán 7 tập 2: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.

A. Tóm tắt lý thuyết bài: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

1. Đường trung tuyến của tam giác

Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng có một đầu là đỉnh của tam giác đầu kia là trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh đó.

Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Định lý: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua  điểm. điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm

GT : G là trọng tâm ∆ ABC

B. Hướng dẫn giải bài tập SGK trang 66,67 Toán 7 tập 2: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 23 trang 66 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng ?

Hướng dẫn giải bài 23:

G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH. Khẳng định đúng là:

Bài 24 trang 66 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Cho hình bên. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:

a)  MG = … MR ; GR = …MR ; GR = …MG

b)  NS = ..NG; NS = …GS; NG = GS

Hướng dẫn giải bài 24:

Hình vẽ cho ta biết hai đường trung tuyến MR và NS cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác. Vì vậy ta điền số như sau:

Bài 25 trang 67 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Biết rằng: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh bằng một nửa cạnh huyền. hãy giải bài toán sau:

Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải bài 25:

∆ABC vuông tại A => BC² = AB² + AC²

BC² = 3² + 4²

BC² = 25

BC = 5

Gọi M là trung điểm của BC => AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên AM = 1/2 BC

Vì G là trọng tâm của ∆ ABC nên:

Bài 26 trang 67 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.

Hướng dẫn giải bài 26:

Giả sử ∆ABC  cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta chứng minh BM = CN

Ta có AN = NB = AB/2 (Tính chất đường trung tuyến)

AM = MC = AC/2 (Tính chất đường trung tuyến)

Vì ∆ ABC cân tại A=>  AB = AC nên AM = AN

Xét  ∆BAM ;∆CAN có:

AM = AN  (cm trên)

Góc A chung

AB = AC (∆ABC  cân)

Nên suy ra ∆BAM = ∆CAN (c-g-c)

=> BM = CN ( 2 cạnh tương ứng)

Bài 27 trang 67 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên : Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Hướng dẫn giải bài 27:

Giả sử ∆ABC  có hai đường trung tuyến BE và CF gặp nhau ở G

=> G là trọng tâm của tam giác

=> GB = 2/3 BE; GC = 2/3 CF

mà BE = CF (giả thiết) nên GB = GC

=> ∆GBC cân tại G => ∠GCB = ∠GBC

Xét ∆BGF và ∆CGE có:

GB = GC ( cmt)

góc BGF = góc CGE (2 góc đối đỉnh)

GE = GF

⇒ ∆BGF = ∆CGE (c-g-c)

⇒ BF = CE ( 2 cạnh tương ứng)

Xét ΔFBC và ΔECB có
BF = CE (CMT)
Cạnh BC chung
BE = CF (GT)

⇒ ΔFBC = ΔECB (c-c-c)
⇒ góc B = góc C
Xét ΔABC có góc B = góc C
⇒ ΔABC là tam giác cân tại A. ( 2 góc đáy bằng nhau)

Bài 28 trang 67 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI

a) Chứng minh ∆DEI  = ∆DFI

b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì?

c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI.

Hướng dẫn giải bài 28:

a) ∆DEI  = ∆DFI có:

DI là cạnh chung

DE = DF ( ∆DEF cân)

IE = IF (DI là trung tuyến)

=>  ∆DEI  = ∆DFI (c.c.c)

b) Vì  ∆DEI  = ∆DFI => ∠DIE = ∠DIF

mà  ∠DIE + ∠DIF= 180⁰ ( kề bù)

nên ∠DIE = ∠DIF = 90⁰ 

c) I là trung điểm của  EF nên IE = IF = 5cm

∆DEI  vuông tại I => DI² = DE² – EI² (định lí pytago)

=> DI² = 13² – 5² = 144

=> DI = 12

Bài 29 trang 67 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng:

GA =GB = GC

Hướng dẫn giải bài 29:

Gọi M, N, E là giao điểm của AG, BG, CG với BC, CA, AB.

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên

Vì ∆ABC đều nên ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau

=> AM = BN = CE (2)

Từ (1), (2)  => GA = GB = GC

Bài 30 trang 67 SGK Toán 7 tập 2 – Hình học

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’

a) So sánh các cạnh của  tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải bài 30:

a) So sánh các cạnh của  ∆BGG’ với các đường trung tuyến của  ∆ABC BG cắt AC tại N

CG cắt AB tại E

G là trọng tâm của  ∆ABC

=> GA =  2/3 AM

Mà GA = GG’ ( G là trung điểm của AG ‘)

GG’ = 2/3 AM

Vì G là trọng tâm của  ∆ABC => GB = 2/3 BN

Mặt khác : GM = 1/2 AG ( G là trọng tâm )

AG = GG’ (gt)

GM =  1/2 GG’

M là trung điểm GG’

Do đó  ∆GMC =  ∆G’MB vì :

GM = MG’

MB = MC

∠GMC = ∠G’MB

=> BG’ = CG

mà CG = 2/3 CE (G là trọng tâm  ∆ABC)

=> BG’ = 2/3 CE

Vậy mỗi cạnh của ∆BGG’ bằng 2/3 đường trung tuyến của ∆ABC

b) So sánh các đường trung tuyến của ∆BGG’ với cạnh ∆ABC

ta có: BM là đường trung tuyến ∆BGG’

mà M là trung điểm của BC nên BM = 1/2 BC

Vì IG = 1/2 BG (I là trung điểm BG)

GN = 1/2 BG ( G là trọng tâm)

=> IG = GN

Do đó ∆IGG’ = ∆NGA (cgc)  => IG’ = AN  => IG’ = AC/2

– Gọi K là trung điểm BG => GK là trung tuyến ∆BGG’

Vì GE = 1/2 GC (G là trọng tâm ∆ABC)

=> GE = 1/2 BG

mà K là trung điểm BG’ => KG’ = EG

Vì ∆GMC = ∆G’BM (chứng minh trên)

=> ∠GCM = ∠G’BM (lại góc sole trong)

=> CE // BG’ =>  ∠AGE = ∠AG’B (đồng vị)

Do đó ∆AGE = ∆GG’K (cgc)  => AE = GK

mà AE = 1/2 AB nên GK = 1/2 AB

Vậy mỗi đường trung tuyến ∆BGG’ bằng một nửa cạnh của tam giác ABC song song với nó

Bài sau: Giải bài 31,32,33 ,34,35 trang 70,71 SGK Toán 7 tập 2: Tính chất ba đường phân giác của một góc