Đáp ứng tần số
Chúng ta quay lại với mạch kích thích bởi nguồn hình sin và dùng hàm số mạch để khảo sát tính chất của mạch khi tần số tín hiệu vào thay đổi . Đối tượng của sự khảo sát sẽ là các mạch lọc, loại mạch chỉ cho qua một khoảng tần số xác định. Tính chất ...
Chúng ta quay lại với mạch kích thích bởi nguồn hình sin và dùng hàm số mạch để khảo sát tính chất của mạch khi tần số tín hiệu vào thay đổi.
Đối tượng của sự khảo sát sẽ là các mạch lọc, loại mạch chỉ cho qua một khoảng tần số xác định. Tính chất của mạch lọc sẽ thể hiện rõ nét khi ta vẽ được đáp tuyến tần số của chúng.
Các đại lượng liên quan đến tính chất của mạch như hệ số phẩm, độ rộng băng tần cũng được giới thiệu ở đây.
Cuối cùng chúng ta sẽ giới thiệu phương pháp qui tỉ lệ hàm số mạch (network scaling) để đạt được các mạch điện với các phần tử có giá trị thực tế.
Hàm số mạch của mạch có kích thích hình sin là H(jω), thường là một số phức nên ta có thể viết:
Ta gọi đáp tuyến tần số để chỉ các đường biểu diễn của biên độ <|H(jω)| và góc pha ϕ(ω) theo tần số ω.
Các đường biểu diễn này được gọi là Đáp tuyến biên độ và Đáp tuyến pha
Thí dụ 8.1
và |H(jω)|max=|H(jωo) |=R
Để vẽ đáp tuyến tần số ta xác định|H(jω)| và ϕ(ω) ứng với vài trị đặc biệt của ω
* ω=0 ⇒ |H(jω)| = 0 và ϕ(ω) =π/2
* ω=ωo ⇒ |H(jω)| =R và ϕ(ω) = 0
* ω→∞ ⇒ |H(jω)| → 0 và ϕ(ω) =-π/2
Đáp tuyến vẽ ở (H 8.2)
Đáp ứng V2(jω)=I1.H(jω). Ta thấy V2 được xác định một cách đơn giản là tích của hàm mạch với một hằng số. Vì vậy những thông tin mà ta có được khi khảo sát hàm số mạch cũng chính là những thông tin của đáp ứng. Vì lý do này và cũng vì hàm số mạch chỉ tùy thuộc vào mạch mà không tùy thuộc vào kích thích nên người ta thường dùng đáp tuyến tần số của hàm số mạch để khảo sát mạch điện.
Coi hàm số mạch
Trên đồ thị, trị s được ghi bằng một chấm đậm, vectơ vẽ từ z1 đến s diễn tả thừa số s-z1.
Các thừa số trong (8.6) và (8.7) được xác định bằng cách đo trên đồ thị các độ dài của các vectơ tương ứng và các góc hợp bởi các vectơ này với trục thực.
Thí dụ 8.2
Tính
Giản đồ Cực-Zero và các vectơ xác định H(j10) cho trên (H 8.4). Các trị ghi kèm trên đồ thị có được bằng cách dùng thước đo.
Thí dụ 8.3
Vẽ đáp tuyến tần số mạch (H 8.5)
Với p1=-1/RC
Giản đồ Cực-Zero vẽ ở (H 8.6)
Để vẽ đáp tuyến, thay s=jω vào hàm số mạch. Trên đồ thị s nằm trên trục ảo cách gốc O đoạn bằng ω. Khi ω thay đổi từ 0→∞, điểm s di chuyển trên trục ảo từ gốc O ra vô cùng.
Thí dụ 8.4
Xác định hàm số truyền Vo(s)/Vi(s) của mạch (H 8.8). Vẽ đáp tuyến tần số trong 2 trường hợp
* α=ωo
* α<<ωo
Trong đó α=R/2L & ωo2=1/LC
Đáp tuyến của mạch lọc dải thông
Xét mạch ở thí dụ 8.1, |H(jω)| có trị cực đại tại ω=ωo.
Dải tần số qua mạch lọc xác định bởi ωc1 ≤ω≤ωc2
Một mạch điện kích thích bởi tín hiệu hình sin ở trạng thái cộng hưởng khi biên độ của hàm số mạch đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu.
Mạch thí dụ 8.1, |H(jω)| có trị cực đại tại ω=ωo.
Ta thấy ωo chính là bán kính vòng tròn quỹ tích của Cực khi α thay đổi
* Khi R khá lớn (hay α rất nhỏ) , tần số cộng hưởng rất gần với tần số tự nhiên.
Đáp tuyến biên độ có đỉnh nhọn (|H(jω)|max=R)
* Khi R→ ∞, tần số cộng hưởng trùng với tần số tự nhiên. Đỉnh của đáp tuyến có biên độ → ∞
* Đối với mạch RLC mắc nối tiếp, kích thích bởi nguồn hiệu thế V(s), đáp ứng là dòng điện I(s), Hàm số mạch chính là tổng dẫn
Khi có cộng hưởng xảy ra , tác dụng của các phần tử L và C triệt tiêu với nhau và mạch tương đương với một điện trở thuần.
Tổng quát, hàm số mạch của một mạch lọc dải thông bậc 2 có dạng:
Đây là dạng tổng quát của hàm số mạch của mạch lọc dải thông bậc 2 có tần số giữa ωo và băng thông BW
Ngoài ra từ (8.11), (8.12) ta có:
ωo2=ωc2.ωc1
Một mạch lọc dải thông thường cũng là mạch cộng hưởng mà tính chất của nó được xác định bởi một đại lượng gọi là hệ số phẩm Q, được định nghĩa như sau:
Một mạch có hệ số Q nhỏ thì độ rộng băng tần lớn và ngược lại. Băng thông nhỏ đồng nghĩa với độ chọn lọc tốt, vậy hệ số phẩm Q xác định độ chọn lọc của mạch.
Q càng lớn độ chọn lọc càng tốt, sự cộng hưởng càng nhọn.
Dùng hệ số phẩm Q ta viết lại biểu thức hàm số mạch
So với các kết quả trên, sai biệt khoảng 0,5%.
Trong các bài toán trước đây ta luôn luôn gặp các R, L và C với những giá trị thật là lý tưởng như R = 1Ω, 2Ω, 3Ω . . .,L = 1H, 2H, 3H . . .,C =1F, 2F, 3F . . .và các tần số thì khoảng 1vài rad/s. Mạch điện với các trị như thế quả là không thực tế chút nào, vậy để có những mạch với các phần tử gần với thật, chúng ta phải chuyển đổi các giá trị này bằng cách qui tỉ lệ cho mạch.
Có 2 cách qui tỉ lệ: qui tỉ lệ tổng trở và qui tỉ lệ tần số
Qui tỉ lệ tổng trở
Ta thấy ngay
R=KiR L=KiL’ C=C’/Ki
Như vậy, để qui tỉ lệ tổng trở của mạch với hệ số Ki ta nhân R và L với Ki và chia C cho Ki
Đối với nguồn phụ thuộc, sự qui tỉ lệ tùy vào đơn vị của hệ số của nguồn, nếu hệ số của nguồn có đơn vị tổng trở, ta nhân cho Ki , nếu là tổng dẫn, ta chia cho Ki.
Qui tỉ lệ tần số
Khi qui tỉ lệ tần số cho một mạch, giá trị của hàm số mạch phải không đổi
Giả sử hàm số mạch là H’(S) với S=jΩ
Sau khi qui tỉ lệ, mạch làm việc với tần số ω=KfΩ.
Kf là hệ số qui tỉ lệ tần số.
H’(S)= H(s) với S=s/ Kf
Gọi R’, L’, C’ là các giá trị trước khi qui tỉ lệ
Gọi R, L, C là các giá trị sau khi qui tỉ lệ.
Để hàm số mạch không đổi, các tổng trở ZR, ZL, ZC phải không đổi sau khi qui tỉ lệ, nghĩa là ta phải có:
Tóm lại, để qui tỉ lệ tần số cho mạch, ta chia L và C cho Kf và giữ nguyên R.
Thí dụ 8.6
a. Qui tỉ lệ tổng trở của mạch với hệ số Ki=500, các phần tử trong mạch có trị như thế nào ?
b. Để đạt được tần số cắt là 20.000 rad/s, phải qui tỉ lệ tần số với hệ số là bao nhiêu ?
Thí dụ 8.7
Trở lại thí dụ 8.1
Thính giác của con người nhạy cảm theo âm thanh có tính phi tuyến: Độ nhạy tỉ lệ với logarit của biên độ.
Để so sánh âm thanh người ta dùng logarit của hàm số mạch (tức độ lợi của mạch) thay vì dùng hàm số mạch và đơn vị được tính bằng Decibel (dB)
dB=20log10|H(jω)|
Đơn vị được biết đến đầu tiên là Bel, định nghĩa bởi Alexander Graham Bell (1847-1922).
Bel được định nghĩa như là một đơn vị công suất
Một tín hiệu có tần số ω1 với α(ω1) càng nhỏ thì qua mạch ít bị suy giảm.
Thí dụ 8.8
Mạch lọc hạ thông có hàm số mạch cho bởi
(H 8.21) là giản đồ α(ω).
8.1 Chứng tỏ mạch điện có hàm số mạch dưới đây là mạch lọc thượng thông.
8.4 Mạch RLC nối tiếp với R=1Ω, L=1/2 H và C=0,02 F (H P8.4).
Xác định H(s)=Vo(s)/Vi(s). Vẽ đáp tuyến tần số của mạch. Xác định ωo, ở đó biên độ H(jω) cực đại và góc pha bằng 0. Xác định ωc1, ωc2
8.5 Mạch (H P8.5). Xác định H(s)=Vo(s)/Vi(s) theo R1, R2 và R3.
Chứng tỏ đây là mạch lọc dải thông. Tần số giữa ?
Với giá trị nào của R1, R2 và R3 ta có kết quả giống BT 8.4 ?
8.6 Mạch (H P8.6). Xác định H(s)=Vo(s)/Vi(s).
Chứng tỏ đây là mạch lọc dải thông. Tìm độ lợi, băng thông và tần số giữa ?
8.7 Mạch (H P8.7a). Chứng tỏ Z(s) có dạng:
8.8 Mạch (H P8.8). Xác định H(s)=Vo(s)/Vi(s).
Chứng tỏ đây là mạch lọc dải thông. Tìm độ lợi, băng thông và tần số giữa ?
Tỉ lệ hóa mạch sao cho tần số giữa là 20.000 rad/s dùng tụ .01μF.
8.9 Mạch (H P8.9). Xác định H(s)=Vo(s)/Vi(s).
Chứng tỏ đây là mạch lọc dải loại. Tìm độ lợi, tần số giữa và hệ số phẩm?
Tỉ lệ hóa mạch sao cho tần số giữa là fo=60 Hz dùng tụ 1nF và 2nF.
Và đây là mạch dải loại, có tần số giữa ω0 = 1 rad/s. Xác định độ rộng dải loại.
Tỉ lệ hóa mạch sao cho tần số giữa là 105 rad/s dùng tụ .001μF. Cho Q=5 và K=0,5.
