Câu 87 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức

Với ba số  a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức:

(a + b + c ge sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {ca} )

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.

Gợi ý làm bài

Vì a, b và c không âm nên  và $sqrt c $ tồn tại.

Ta có: ({left( {sqrt a  - sqrt b } ight)^2} ge 0) suy ra:

(eqalign{
& a + b - 2sqrt {ab} ge 0 Leftrightarrow a + b ge 2sqrt {ab} cr
& Leftrightarrow {{a + b} over 2} ge sqrt {ab} ,,(1) cr} )

({left( {sqrt b  - sqrt c } ight)^2} ge 0) suy ra:

(eqalign{
& b + c - 2sqrt {bc} ge 0 Leftrightarrow b + c ge 2sqrt {bc} cr
& Leftrightarrow {{b + c} over 2} ge sqrt {bc} ,,(2) cr} )

({left( {sqrt c  - sqrt a } ight)^2} ge 0) suy ra:

(eqalign{
& c + a - 2sqrt {ca} ge 0 Leftrightarrow c + a ge 2sqrt {ca} cr
& Leftrightarrow {{c + a} over 2} ge sqrt {ca} ,,(3) cr} )

Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:

({{a + b} over 2} + {{b + c} over 2} + {{c + a} over 2} ge sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {ca} )

( Leftrightarrow a + b + c ge sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {ca} )

- Với bốn số a, b, c, d không âm, ta có:

(a + b + c + d ge sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {cd}  + sqrt {da} )

- Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:

(a + b + c + d + e ge sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {cd}  + sqrt {de}  + sqrt {ea} )

Sachbaitap.com