Câu 87 trang 172 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; R') tiếp xúc ngoài tại A ( R > R'). ...
Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; R') tiếp xúc ngoài tại A ( R > R').
Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; R') tiếp xúc ngoài tại A ( R > R').
Vẽ các đường kính AOB, AO¢C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
a) Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi.
b) Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O¢). Chứng minh rằng ba điểm D, A, I thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O¢).
Giải:
a) Vì đường tròn (O) và (O¢) tiếp xúcngoài tại A nên O, A và O' thẳng hàng.
Ta có: KB = KC (gt)
Trong đường tròn (O) ta có:
AB ⊥ DE tại K
Suy ra: KD = KE ( đường kính vuông góc với dây cung)
Tứ giác BDCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Lại có: BC ⊥ DE
Suy ra tứ giác BDCE là hình thoi.
b) Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại D.
Suy ra: AD ⊥ BD
Tứ giác BDCE là hình thoi nên EC // BD
Suy ra: EC ⊥ AD (1)
Tam giác AIC nội tiếp trong đường tròn (O¢) có AC là đường kính nên vuông tại I.
Suy ra: AI ⊥ CE (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD trùng với AI
Vậy D, A, I thẳng hàng.
c) Tam giác DIE vuông tại I có IK là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên:
(KI = KD = {1 over 2}ED) ( tính chất tam giác vuông)
Suy ra tam giác IKD cân tại K
Suy ra: (widehat {KID} = widehat {KDI}) hay (widehat {KIA} = widehat {KDA}) (3)
Ta có: O'A = O'I ( = R) nên tam giác O'IA cân tại O'
Suy ra: (widehat {O'AI} = widehat {O'IA}) ( tính chất tam giác cân)
Mà: (widehat {O'AI} = widehat {KAD}) (đối đỉnh)
Suy ra: (widehat {O'IA} = widehat {KAD}) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: (widehat {KIO'} = 90^circ ) hay KI ⊥ O'I tại I.
Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O').
Sachbaitap.com
