Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.

Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.

Giải

Ta có: (overrightarrow {SA}  = aoverrightarrow {SA'} ,;overrightarrow {SB}  = boverrightarrow {SB'} ,;overrightarrow {SC}  = coverrightarrow {SC} .)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì

(eqalign{  & overrightarrow {SG}  = {1 over 3}.left( {overrightarrow {SA}  + overrightarrow {SB}  + overrightarrow {SC} } ight)  cr  & Vay,overrightarrow {SG}  = {a over 3}overrightarrow {SA'}  + {b over 3}overrightarrow {SB'}  + {c over 3}overrightarrow {SC'}  cr} )

Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi 4 điểm G, A’, B’, C’ đồng phẳng, nên theo kết quả bài tập 5 (SGK trang 91) , điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu ({a over 3} + {b over 3} + {c over 3} = 1) , tức là: a + b + c = 3.

zaidap.com