Câu 6 trang 6 Sách Bài Tập (SBT) Toán 7 tập 1: a) Chứng tỏ câu sau. b) Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa hai số...

a) Chứng tỏ rằng nếu ({a over b} < {c over d}(b > 0,d > 0)) thì ({a over b} < {{a + c} over {b + d}} < {c over d})

b) Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa ({{ – 1} over 3}) và ({{ – 1} over 4})

Giải

Ta có: ({a over b} = {{a{ m{d}}} over {b{ m{d}}}};{c over d} = {{bc} over {b{ m{d}}}}) Vì b>0, d > 0 ( Rightarrow ) bd > 0

Mà ({a over b} < {c over d}) nên ({{a{ m{d}}} over {b{ m{d}}}} < {{bc} over {b{ m{d}}}}) ( Rightarrow )ad < bc                             (1)

Cộng vào 2 vế của (1) với ab

Suy ra: (a{ m{d}} + ab < bc + ab )

(Rightarrow aleft( {b + d} ight) < bleft( {a + c} ight) )

(Rightarrow {a over b} < {{a + c} over {b + d}})                                                                       (2)

Cộng vào 2 vế của (1) với cd

Suy ra: (a{ m{d}} + c{ m{d}} < bc + c{ m{d}})

(Rightarrow left( {a + c} ight)d < cleft( {b + d} ight))

(Rightarrow {{a + c} over {b + d}} < {c over d})                                                                      (3)

Từ (2) và (3) suy ra: ({a over b} < {{a + c} over {b + d}} < {c over d})

b) Theo câu a) ta có:

({{ – 1} over 3} < {{ – 1} over 4} Rightarrow {{ – 1} over 3} < {{ – 1 + ( – 1)} over {3 + 4}} = {{ – 2} over 7} < {{ – 1} over 4})

({{ – 1} over 3} < {{ – 2} over 7} Rightarrow {{ – 1} over 3} < {{ – 1 + ( – 2)} over {3 + 7}} = {{ – 3} over {10}} < {{ – 2} over 7})

({{ – 1} over 3} < {{ – 3} over {10}} Rightarrow {{ – 1} over 3} < {{ – 1 + ( – 3)} over {3 + 10}} = {{ – 4} over {13}} < {{ – 3} over {10}})

Vậy ({{ – 1} over 3} < {{ – 4} over {13}} < {{ – 3} over {10}} < {{ – 2} over 7} < {{ – 1} over 4})