Câu 59 trang 40 SBT môn Toán 8 tập 1: Chứng minh đẳng thức :...

Chứng minh đẳng thức :

a. (left( {{{{x^2} – 2x} over {2{x^2} + 8}} – {{2{x^2}} over {8 – 4x + 2{x^2} – {x^3}}}} ight)left( {1 – {1 over x} – {2 over {{x^2}}}} ight) = {{x + 1} over {2x}})

b. (left[ {{2 over {3x}} – {2 over {x + 1}}.left( {{{x + 1} over {3x}} – x – 1} ight)} ight]:{{x – 1} over x} = {{2x} over {x – 1}})

c. (left[ {{2 over {{{left( {x + 1} ight)}^3}}}.left( {{1 over x} + 1} ight) + {1 over {{x^2} + 2x + 1}}.left( {{1 over {{x^2}}} + 1} ight)} ight]:{{x – 1} over {{x^3}}} = {x over {x – 1}})

Giải:

a. Biến đổi vế trái :

(left( {{{{x^2} – 2x} over {2{x^2} + 8}} – {{2{x^2}} over {8 – 4x + 2{x^2} – {x^3}}}} ight)left( {1 – {1 over x} – {2 over {{x^2}}}} ight))

(eqalign{  &  = left[ {{{{x^2} – 2x} over {2left( {{x^2} + 4} ight)}} – {{2{x^2}} over {4left( {2 – x} ight) + {x^2}left( {2 – x} ight)}}} ight]{{{x^2} – x – 2} over {{x^2}}}  cr  &  = left[ {{{{x^2} – 2x} over {2left( {{x^2} + 4} ight)}} – {{2{x^2}} over {left( {2 – x} ight)left( {4 + {x^2}} ight)}}} ight]{{{x^2} – x – 2} over {{x^2}}}  cr  &  = {{left( {{x^2} – 2x} ight)left( {2 – x} ight) – 4{x^2}} over {2left( {2 – x} ight)left( {{x^2} + 4} ight)}}.{{{x^2} – x – 2} over {{x^2}}}  cr  &  = {{2{x^2} – {x^3} – 4x + 2{x^2} – 4{x^2}} over {2left( {2 – x} ight)left( {{x^2} + 4} ight)}}.{{{x^2} – 2x + x – 2} over {{x^2}}}  cr  &  = {{ – xleft( {{x^2} + 4} ight)} over {2left( {2 – x} ight)left( {{x^2} + 4} ight)}}.{{xleft( {x – 2} ight) + left( {x – 2} ight)} over {{x^2}}}  cr  &  = {{xleft( {{x^2} + 4} ight)} over {2left( {x – 2} ight)left( {{x^2} + 4} ight)}}.{{left( {x – 2} ight)left( {x + 1} ight)} over {{x^2}}} = {{x + 1} over {2x}} cr} )

Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.

b. Biến đổi vế trái:

 (eqalign{  & left[ {{2 over {3x}} – {2 over {x + 1}}.left( {{{x + 1} over {3x}} – x – 1} ight)} ight]:{{x – 1} over x}  cr  &  = left[ {{2 over {3x}} – {2 over {x + 1}}.{{x + 1 – 3xleft( {x + 1} ight)} over {3x}}} ight].{x over {x – 1}}  cr  &  = left[ {{2 over {3x}} – {2 over {x + 1}}.{{left( {x + 1} ight)left( {1 – 3x} ight)} over {3x}}} ight].{x over {x – 1}}  cr  &  = left[ {{2 over {3x}} – {{2left( {1 – 3x} ight)} over {3x}}} ight].{x over {x – 1}} = {{2 – 2 + 6x} over {3x}}.{x over {x – 1}} = 2.{x over {x – 1}} = {{2x} over {x – 1}} cr} )

Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.

c. Biến đổi vế trái :

(eqalign{  & left[ {{2 over {{{left( {x + 1} ight)}^3}}}.left( {{1 over x} + 1} ight) + {1 over {{x^2} + 2x + 1}}.left( {{1 over {{x^2}}} + 1} ight)} ight]:{{x – 1} over {{x^3}}}  cr  &  = left[ {{2 over {{{left( {x + 1} ight)}^3}}}.{{x + 1} over x} + {1 over {{{left( {x + 1} ight)}^2}}}.{{{x^2} + 1} over {{x^2}}}} ight].{{{x^3}} over {x – 1}}  cr  &  = left[ {{2 over {x{{left( {x + 1} ight)}^2}}} + {{{x^2} + 1} over {{x^2}{{left( {x + 1} ight)}^2}}}} ight].{{{x^3}} over {x – 1}} = {{2x + {x^2} + 1} over {{x^2}{{left( {x + 1} ight)}^2}}}.{{{x^3}} over {x – 1}}  cr  &  = {{{{left( {x + 1} ight)}^2}} over {{x^2}{{left( {x + 1} ight)}^2}}}.{{{x^3}} over {x – 1}} = {x over {x – 1}} cr} )

Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.