Câu 55 trang 98 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2: Tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh...

Tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng AH.DH = BH.EH = CH.FH

Giải:

(hình trang 121 sgbt)

Xét ∆ AFH và ∆ CDH, ta có:

(widehat {AFH} = widehat {CDH} = 90^circ )

(widehat {AHF} = widehat {CHD})  (đối đỉnh)

Suy ra: ∆ AFH đồng dạng ∆ CDH (g.g)

Suy ra: ({{AH} over {CH}} = {{FH} over {DH}})

Suy ra: AH.DH = CH.FH                      (1)

Xét ∆ AEH và ∆ BDH, ta có:

(widehat {AEH} = widehat {BDH} = 90^circ )

(widehat {AHE} = widehat {BHD}) (đối đỉnh)

Suy ra: ∆ AEH đồng dạng ∆ BDH (g.g)

Suy ra: ({{AH} over {BH}} = {{EH} over {DH}})

Suy ra: AH.DH = BH.EH                  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AH.DH = BH.EH = CH.FH.