Câu 48 trang 60 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên hai cạnh AB và CD. Tìm tập hợp trung điểm I của MN.

48. Trang 60 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên hai cạnh AB và CD. Tìm tập hợp trung điểm I của MN.

Giải

Phần thuận. Giả sử I là trung điểm của MN. Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD và DB. Vì:

({{PB} over {IM}} = {{PC} over {IN}} = {{BC} over {MN}})

Nên BM, PI, CN cùng song song với một mặt phẳng, mặt phẳng này song song với AB và CD. Gọi (left( alpha  ight)) là mặt phẳng qua P và song song với mặt phẳng đó thì rõ ràng (I in left( alpha  ight)). Mặt phẳng này cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là hình bình hành PQRS. Vì M chỉ chạy trên đoạn AB, N chỉ di động trên CD nên điểm I luôn nằm trong tứ diện, tức là I luôn nằm trong hình bình hành PQRS.

Phần đảo. Lấy một điểm I nằm trong hình hình bình hành PQRS. Qua I có một đường thẳng cắt hai cạnh AB và CD tại M và N. Theo định lí Ta-lét thì I là trung điểm của MN.

Vậy tập hợp các điểm I là hình bình hành PQRS (cùng với các điểm trong của nó).

zaidap.com