Câu 43 trang 11 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Chứng minh rằng khi cố định hai điểm A, B và cho điểm C thay đổi thì đường thẳng NQ luôn luôn đi qua một điểm cố định.

43. Trang 11 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông BCMN và ACPQ có tâm O và O’.

a) Chứng minh rằng khi cố định hai điểm A, B và cho điểm C thay đổi thì đường thẳng NQ luôn luôn đi qua một điểm cố định.

b) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng IOO’ là tam giác vuông cân.

Giải

a) ({Q_A}) và ({Q_B}) lần lượt là các phép quay tâm A, B với góc quay:

(left( {AQ,AC} ight) = left( {BC,BN} ight) = {90^o}.)

Theo bài 42 ta có: Hợp thành của hai phép đó là phép đối xứng qua điểm H xác định. Vì phép đối xứng tâm H biến Q thành N nên H là trung điểm của đoạn thẳng NQ, tức là đường thẳng NQ luôn luôn đi qua điểm H cố định.

b) Gọi ({Q_O}) và ({Q_{O'}}) là các phép quay có góc quay ({90^o}) với tâm quay tương ứng là O và O’ thì phép hợp thành F của chúng biến B thành A. Nhưng vì F là đối xứng tâm, nên tâm đối xứng là trung điểm I của AB. Suy ra tam giác IOO’ vuông cân tại đỉnh I.

Cách giải khác 

Phép quay tâm C góc quay ({90^o}) biến A thành P và biến M thành B. Bởi vậy, ta có AM = PB và (AM ot PB.) Chú ý rằng IO là đường trung bình của tam giác ABM và IO’ là đường trung bình của tam giác APB nên suy ra IOO’ là tam giác vuông cân.

zaidap.com