Câu 31 trang 68 Toán Hình 11 Nâng cao , Cho hai đường thẳng chéo nhau. Chứng minh rằng có đúng hai mặt phẳng song song với nhau lần lượt đi qua hai...

Cho hai đường thẳng chéo nhau. Chứng minh rằng có đúng hai mặt phẳng song song với nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng đó

Giải

Gọi hai đường thẳng chéo nhau là a và b.

Trên đường thẳng a, ta lấy điểm M, qua M kẻ đường thẳng b’ // b

Trên đường thẳng b, ta lấy điểm N, qua N ta kẻ đường thẳng a’ // a

Gọi (α) = mp(a, b’), (β) = mp(b, a’) thì (α) // (β)

* Ta chứng tỏ cặp mặt phẳng (α), (β) là duy nhất.

Thật vậy, giả sử tồn tại cặp (α’) , (β’) sao cho (α’) chứa a, (β’) chứa b và ((α’) // (β’)). Ta chứng minh ((α’) ≡ (α)) và ((β’) ≡ (β)) .

– Do (α’) và (α) cùng chứa a, nên nếu (α’) và (α) không trùng nhau thì ((α’) ∩ (α) = a) (1)

– Do ( (α’) // (β’) ⇒ b // (α’)) (2)

– Do ((α) // (β) ⇒ b // (α)) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra a // b, mâu thuẫn giả thiết

Vậy ((α) ≡ (α’)), tương tự ((β) ≡ (β’))

Do đó cặp mặt phẳng ((α), (β)) duy nhất.