Câu 3.5 trang 8 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh hằng đẳng thức:

Chứng minh hằng đẳng thức: ({left( {a + b + c} ight)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3left( {a + b} ight)left( {b + c} ight)left( {c + a} ight))

Giải:

Biến đổi vế trái:

 (eqalign{  & {left( {a + b + c} ight)^3} = {left[ {left( {a + b} ight) + c} ight]^3} = {left( {a + b} ight)^3} + 3{left( {a + b} ight)^2}c + 3left( {a + b} ight){c^2} + {c^3}  cr  &  = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} + 3left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} ight)c + 3a{c^2} + 3b{c^2} + {c^3}  cr  &  = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + 3{a^2}c + 6abc + 3{b^2}c + 3a{c^2} + 3b{c^2}  cr  &  = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3ableft( {a + b} ight) + 3acleft( {a + b} ight) + 3bcleft( {a + b} ight) + 3{c^2}left( {a + b} ight)  cr  &  = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3left( {a + b} ight)left( {ab + ac + bc + {c^2}} ight)  cr  &  = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3left( {a + b} ight)left[ {aleft( {b + c} ight) + cleft( {b + c} ight)} ight]  cr  &  = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3left( {a + b} ight)left( {b + c} ight)left( {a + c} ight) cr} )

Vế trái bằng vế phải đẳng thức được chứng minh.