Câu 3.2 trang 170 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:

Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:

a)  (F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} over {2x - 3}}) và (G(x) = {{{x^2} + 10} over {2x - 3}})

b) (F(x) = {1 over {{{sin }^2}x}})  và (G(x) = 10 + {cot ^2}x)

c) (F(x) = 5 + 2{sin ^2}x)  và (G(x) = 1 - cos 2x)

Hướng dẫn làm bài

a) Vì (F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} over {2x - 3}} = {{{x^2} + 10} over {2x - 3}} + 3 = G(x) + 3)  nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của (f(x) = {{2{x^2} - 6x - 20} over {{{(2x - 3)}^2}}})

b) Vì (G(x) = 10 + {cot ^2}x = {1 over {{{sin }^2}x}} + 9 = F(x) + 9) , nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của (f(x) =  - {{2cos x} over {{{sin }^3}x}})

c) Vì (F'(x) = (5 + 2{sin ^2}x)' = 2sin 2x)  và (G'(x) = (1 - cos 2x)' = 2sin 2x) , nên F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của cùng hàm số f(x) = 2sin2x

Sachbaitap.com