Câu 19 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

a. Chứng minh rằng SG ⊥ (ABC). Tính SG.

b. Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm C₁ nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P).

Giải

a. Vì SA = SB = SC nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mà G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SG ⊥ mp(ABC)

Gọi I là trung điểm của BC. Ta có : AI ⊥ BC và BC ⊥ SI

(eqalign{  & SI = sqrt {S{C^2} - I{C^2}}  = sqrt {{b^2} - {{{a^2}} over 4}}  ={ sqrt {{4{b^2} - {a^2}} }over 2}   cr  & GI = {1 over 3}AI = {1 over 3}.a{{sqrt 3 } over 2} = {{asqrt 3 } over 6} cr} )

Trong tam giác vuông SGI ta có :

(SG = sqrt {S{I^2} - G{I^2}}  = sqrt {{{4{b^2} - {a^2}} over 4} - {{{a^2}} over {12}}}  = sqrt {{{12{b^2} - 4{a^2}} over {12}}})

        (  = sqrt {{{3{b^2} - {a^2}} over 3}} )

b. Kẻ AC₁ ⊥ SC thì (P) chính là mp(ABC₁)

Vì SAC là tam giác cân mà AC₁ ⊥ SC nên C₁ nằm giữa S và C khi và chỉ khi

(widehat {ASC} < 90^circ  Leftrightarrow A{S^2} + C{S^2} > A{C^2} Leftrightarrow 2{b^2} > {a^2})

Ta có : AB ⊥ GC và AB ⊥ SG ⇒ AB ⊥ SC

SC ⊥ AC₁ và SC ⊥ AB nên SC ⊥ (ABC₁)

Thể tích tứ diện SABC là :

(eqalign{  & {V_{SABC}} = {1 over 3}SG.{S_{ABC}} = {1 over 3}SC.{S_{AB{C_1}}}  cr  &  Rightarrow {S_{AB{C_1}}} = {{SG.{S_{ABC}}} over {SC}} = {{sqrt {{{3{b^2} - {a^2}} over 3}} .{{{a^2}sqrt 3 } over 4}} over b} = {{{a^2}sqrt {3{b^2} - {a^2}} } over {4b}} cr} )

zaidap.com