Câu 10 trang 96 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu thì AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại có đúng không ?

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu (overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC}  = overrightarrow {AC} .overrightarrow {AD}  = overrightarrow {AD} .overrightarrow {AB} ) thì AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại có đúng không ?

Giải

Ta có:

(eqalign{  & overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC}  = overrightarrow {AC} .overrightarrow {AD}   Leftrightarrow overrightarrow {AC} .left( {overrightarrow {AD}  - overrightarrow {AB} } ight) = 0  cr  &  Leftrightarrow overrightarrow {AC} .overrightarrow {BD}  = 0 Leftrightarrow AC ot BD cr} )

Tương tự :

(eqalign{  & overrightarrow {AC} .overrightarrow {AD}  = overrightarrow {AD} .overrightarrow {AB}  Leftrightarrow AD ot BC  cr  & overrightarrow {AD} .overrightarrow {AB}  = overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC}  Leftrightarrow AB ot CD cr} )

Như vậy, điều ngược lại cũng đúng.

zaidap.com