Các quy tắc tính sai số

Ta xét bài toán tổng quát hơn như sau: Xét hàm số u của 2 biến số x và y:

u = f(x,y)

Giả sử x là xấp xỉ của giá trị đúng X, y là xấp xỉ của giá trị đúng Y và ta coi u là xấp xỉ của giá trị đúng U = f (X,Y).

Cho biết sai số về x và y, hãy lập công thức tính sai số về u.

Cho biến x ta sẽ ký hiệu Δx = x - X là số gia của x, còn dx là vi phân của x. Theo định nghĩa về sai số tuyệt đối, ta có | Δx | ≤ Δ x

Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có:

Mệnh đề 1. Sai số tuyệt đối của một tổng hay một hiệu bằng tổng các sai số tuyệt đối thành phần.

Chứng minh: Để đơn giản ta xét u= a ± b với các số a, b có giá trị đúng a₀, b₀ và sai số tuyệt đối Δa, Δb tương ứng.

Khi đó: a₀ - Δa ≤ a ≤ a₀+Δa

b₀ - Δb ≤ b ≤ b₀+Δb

Do đó ta có:

(a₀ +b₀ ) - (Δa+Δb ) ≤ a +b ≤ (a₀+ b₀ ) + (Δa +Δb)

(a₀ - b₀ ) - (Δa+Δb ) ≤ a -b ≤ (a₀- b₀ ) + (Δa +Δb)

Đó chính là điều phải chứng minh.

Trường hợp tổng hay hiệu của nhiều số hạng cũng được xét tương tự.

Ví dụ: Cho a=50,5, b=50,9 với Δa= Δb = 0,05 và u= a-b.

Ta có u=0,4 với Δu = 0,05 +0,05 = 0,1

Vậy δu = 0,1 / 0,4 =25%, hay trừ hai số gần bằng nhau thì hiệu sẽ có sai số tương đối là lớn.

Mệnh đề: Sai số tương đối của một tích hay một thương bằng tổng các sai số tương đối thành phần.

Chứng minh: Xét thương

Giả sử tất cả các số hạng của tích và thương đều dương. Khi đó ta có:

ln u = ln x₁ + .. + ln x_m – ln y₁ - .. – ln y_p

Do mệnh đề trong mục 3.3 ta có:

Δ(ln u) = Δ(ln x₁ )+ .. + Δ( ln x_m )+ Δ( ln y₁) +.. + Δ(ln y_p )

Và nhờ ví dụ (1.12) ta có:

δu = δx₁+ .. + δx_m + δ y₁ +.. + δy_p (đpcm)

Ví dụ: Xét S = d.r với d=5,45 ; r= 2,94 ; Δd = Δr = 0,001

Ta có: δd = 0,0001835; δr = 0,0003401; δS = 0,0005236; S=16,023 nên ΔS=S. δS = 0,0084