Các hướng phát triển bài toán chia hết cho học sinh lớp 4

Các hướng phát triển bài toán chia hết cho học sinh lớp 4

giúp các em học sinh lớp 4 dễ dàng nắm được nguyên tắc giải toán khi dùng các dấu hiệu chia hết cho những lớp tiếp theo, vận dụng cho các kỳ thi học sinh sinh giỏi, thi học kì đạt kết quả cao. Mời các em cùng các thầy cô tham khảo.

Ta thấy "Các dấu hiệu chia hết" và "Phép chia có dư" trong chương trình môn Toán lớp 4 là phần rất quan trọng, không thể thiếu nó vì nó là cơ sở để giải một số dạng toán ở tiểu học. Dạng toán:

- Tính nhanh giá trị biểu thức.

- Rút gọn phân số, quy đồng mẫu số (tìm mẫu số chung).

- Tìm điều kiện để phân số có giá trị là số tự nhiên.

- Viết các số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết.

- Dùng dấu hiệu chia hết để điền các chữ số chưa biết.

- Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu.

- Các bài toán về phép chia có dư.

- Chứng tỏ một số hoặc một biểu thức chia hết cho (hoặc không chia hết cho) một số nào đó.

- Cấu tạo số.

- Tìm chữ số tận cùng.

- Giải các bài toán có lời văn.

Hơn thế nữa, việc nắm chắc dấu hiệu chia hết còn là cơ sở cho việc phân tích một số ra thừa số nguyên tố, việc tìm ƯSCLN, BSCNN để phục vụ cho việc học toán ở lớp 5 và các bậc học tiếp theo.

Phát triển các bài toán với các dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 9, 3

Hướng 1: Xét dấu hiệu chia hết của một tổng hoặc hiệu các số

Các tính chất thường sử dụng:

- Nếu mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia hết cho 2.

- Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2.

- Nếu một số hạng của tổng chia cho 2 dư n và các số hạng còn lại đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia cho 2 dư n.

- Hiệu của 2 số là một số chia hết cho 2 và một số chia cho 2 dư n thì số còn lại cũng chia cho 2 dư n.

- Trong một tổng, nếu tổng số dư của các phép chia khi chia từng số hạng của tổng cho một số mà chia hết cho số đó thì tổng của chúng cũng chia hết cho số đó.

- Trong một hiệu, nếu số bị trừ và số trừ khi chia cho một số có cùng số dư thì hiệu của chúng sẽ chia hết cho số đó.

Cũng có tính chất tương tự đối với trường hợp chia hết cho 3, 4, 5, 9......

Bài toán 1. Không làm phép tính, hãy xét xem các tổng và hiệu dưới đây có chia hết cho 3 hay không?

a) 240 + 123 240 - 123

b) 2454 + 374 + 135 2454 - 374 - 135

Gợi ý: Ta nhận xét:

a. 240 và 123 đều chia hết cho 3 nên:

(240 + 123) chia hết cho 3 (240 - 123) chia hết cho 3

b. 2454 và 135 chia hết cho 3 còn 374 không chia hết cho 3 nên:

2454 + 374 + 135 không chia hết cho 3;

2454 - 374 - 135 không chia hết cho 3

Bài toán 2. Tìm số n sao cho n + 6 chia hết cho n + 1.

Gợi ý: n + 6 = n + 1 + 5 nên n + 6 chia hết cho n + 1 khi và chỉ khi 5 chia hết cho n + 1. Nhưng 5 chỉ chia hết cho 5 và 1 nên n + 1 = 1 hoặc n + 1 = 5. Từ đó n = 0 hoặc n = 4.

Hướng 2: Xác định số đồng thời chia hêt cho 2 số hoặc 3 số.

Số đồng thời chia hết cho 2 và 5 thì sẽ chia hết cho 10. Từ dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 5 ta có dấu hiệu chia hết cho 10, đó là số có chữ số tận cùng bằng 0.

Số đồng thời chia hết cho 3 và 2 thì sẽ chia hết cho 6 nên số chia hết cho 6 có chữ số tận cùng chẵn và tổng các chữ số chia hết cho 3. Tương tự như thế với số chia hết cho 15, 18, 45.

Bài toán 3. Viết thêm sau số 1 hai chữ số sao cho được một số có 3 chữ số và số này chia hết cho 6.

Giáo viên hướng dẫn nên xác định chữ số tận cùng trước và từ đó suy ra chữ số hàng chục.

Bài toán 4. Không thực hiện phép chia hãy cho biết các số sau đây: 2015, 1975, 55555 có chia hết cho 15 không? Tại sao?

Bài toán 5. Viết thêm vào số 2017 hai chữ số tận cùng để được số mới (gồm 6 chữ số) chia hết cho 45.

Gợi ý: Số mới chia hết cho 45 nên phải chia hết cho 5, vậy chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5. Nếu chữ số hàng đơn vị là 0 thì tổng của 5 chữ số đã biết của số mới là 2 + 0 + 1 + 7 + 0 = 10. Do đó chữ số hàng chục còn lại cộng với 10 phải chia hết cho 9 nên đó là 8. Ta được số 201780 thoả mãn. Tương tự khi chữ số hàng đơn vị là 5 thì tổng 5 chữ số đã biết của số mới là 2 + 0 + 1 + 7 + 5 = 15. Do đó chữ số hàng chục chỉ có thể là 3, ta có thêm số thoả mãn là 201735.

Bài toán 6. Viết thêm vào số 1996 hai chữ số tận cùng để được một số chia hết cho các số 2, 5, 9.

Gợi ý: Số chia hết cho 2 và 5 thì có chữ số tận cùng là 0. Xét tổng các chữ số chia hết cho 9 để suy ra chữ số hàng chục là 2.

Bài toán 7. Viết thêm số 459 vào giữa hai chữ số thì được một số (gồm 5 chữ số) mà khi chia cho 2, 5, 9 đều dư 1. Tìm số có 5 chữ số đó.

Gợi ý: Số đó có chữ số tận cùng là 1. Xét tổng các chữ số chia cho 9 dư 1 để tìm ra chữ số còn lại là 9.

Bài toán 8. Có thể thay các chữ khác nhau trong biểu thức trên bởi các chữ số khác nhau để được đẳng thức :

CAM + QUYT + NHO = 1989 + 1990 + 1991 là đẳng thức đúng không?

Gợi ý: Vế trái có 10 chữ cái khác nhau phải thay bởi 10 chữ số khác nhau mà tổng của 10 chữ số này là 45 chia hết cho 9. Mặt khác tổng các số vế phải không chia hết cho 9 nên đẳng thức trên không thể là đẳng thức đúng.

Hướng 3: Các bài toán tính nhanh các tổng hoặc rút gọn phân số

Bài toán 9. Thực hiện các phép tính sau bằng cách nhanh nhất.

a) 1996 + 3992 + 5988 + 7984

b) 16 x 3 x 4 x 50 x 25 x 125

c) (45 x 46 x 47 x 49) x (50 x 51 - 49 x 48) x (45 x 128 - 90 x 64) x (1995 x 1996 + 1997 x 1998)

Gợi ý: Dựa vào dấu hiệu chia hết phân tích các số hạng, các thừa số thành tích có thừa số giống nhau, sau đó vận dụng tính chất của các phép toán để tìm nhanh kết quả của dãy tính.

a) 1996 + 3992 + 5988 + 7984

= 1 x 1996 + 2 x 1996 + 3 x 1996 + 4 x 1996

= (1 + 2 + 3 + 4) x 1996

= 10 x 1996

= 19960

b) 16 x 3 x 4 x 50 x 25 x 125

= 2 x 8 x 3 x 4 x 50 x 25 x 125

= 3 x (2 x 50) x (4 x 25) x (8 x 125)

= 3 x 100 x 100 x 1000

= 30 000 000

c) 45 x 128 - 90 x 64

= 45 x (2 x 64) - 90 x 64

= 45 x 2 x 64 - 90 x 64

= 90 x 64 - 90 x 64

= 0

Trong 1 tích có 1 thừa số bằng 0. Vậy tích đó bằng 0, tức là:

(45 x 46 + 47 x 48) x (50 x 51 - 49 x 48) x (45 x 128 - 90 x 64) x (1995 x 1996 + 1997 x 1998) = 0.

Bài toán 10. Rút gọn

Hướng 4: Các bài toán có lời văn đưa về bài toán xét dấu hiệu chia hết.

Đây là hướng gắn kiến thức toán với thực tế, tránh để học sinh chỉ biết xét dấu hiệu chia hết của các con số mà thôi.

Bài toán 11. Lớp 4A có hơn 30 học sinh nhưng sĩ số không quá 40 mà xếp hàng đôi vào lớp thì hai hàng bằng nhau và chia làm 3 tổ thì có số học sinh bằng nhau.

Gợi ý: Số kẹo chia hết cho 6 và sĩ số là 36.

Bài toán 12. Mẹ mua kẹo về chia cho 2 anh em mỗi người được chia số kẹo như nhau thì vừa hết. Nhưng có 1 bạn đến chơi nên mẹ chia đều số kẹo cho hai anh em và cả bạn đến chơi cũng vừa khéo. Biết rằng mẹ mua không quá 15 chiếc và không ít hơn 10 chiếc. Hỏi mẹ mua bao nhiêu chiếc kẹo?

Gợi ý: Số kẹo chia hết cho 6 và số kẹo là 12.

Bài toán 13. Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104 quả, 115 quả, 132quả, 136 quả và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy rằng số chanh gấp 4 lần số cam còn lại. Hỏi cửa hàng đó còn bao nhiêu quả mỗi loại?

Gợi ý:

- Dựa vào dấu hiệu chia hết tìm rổ cam đã bán. Đưa về dạng toán tổng tỉ.

Tổng số cam và chanh của cửa hàng là:

104 + 115 + 132 + 136 + 148 = 635 (quả)

Theo bài ra: Số chanh gấp 4 lần số cam còn lại nên nếu ta coi số cam còn lại là một phần bằng nhau thì số chanh chiếm 4 phần như thế. Vậy tổng số chanh và số cam còn lại chiếm:

1 + 4 = 5 (phần)

Như vậy số quả chanh và cam còn lại phải là một số chia hết cho 5.

Mà tổng số 635 quả cam và chanh của cửa hàng là số chia hết cho 5 suy ra số cam đã bán phải chia hết 5. Trong số 5 rổ cam và chanh của cửa hàng chỉ có rổ đựng 115 quả là chia hết cho 5. Vậy cửa hàng đã bán rổ đựng 115 quả cam.

Tổng số quả chanh và cam còn lại là:

635 - 115 = 520 (quả)

Số cam còn lại là:

520 : (4 + 1) = 104 (quả)

Số cam của cửa hàng có là:

104 + 115 = 219 ( quả)

Số chanh của cửa hàng có là:

635 - 219 = 416 (quả)

Đáp số: Cam: 219 quả. Chanh: 416 quả

Bài toán 14. Lớp 4B xếp hàng hai được một số hàng không thừa bạn nào, xếp hàng ba hay hàng bốn đều được một số hàng không thừa bạn nào. Nếu đếm tổng các hàng xếp được đó thì được 39 hàng. Hỏi lớp 4B có bao nhiêu bạn?

Gợi ý: Xét xem số học sinh của lớp 4B chia hết cho những số nào?

Vì số học sinh lớp 4B khi xếp hàng 2, hàng 3 hoặc hàng 4 đều không thừa bạn nào nên số học sinh của lớp 4B là một số chia hết cho 2, cho 3 và cho 4. Số nhỏ nhất chia hết cho 2, 3, 4 đó là 12. Giả sử lớp học đó có 12 học sinh.

Nếu xếp hàng 2 thì được số hàng là:

12 : 2 = 6 (hàng)

Nếu xếp hàng 3 thì được số hàng là:

12 : 3 = 4 (hàng)

Nếu xếp hàng 4 thì được số hàng là:

12 : 4 = 3 (hàng)

Tổng số hàng xếp được là:

6 + 4 + 3 = 13 (hàng)

39 hàng gấp 13 hàng số lần là:

39 : 13 = 3 (lần)

Vậy số học sinh của lớp 4B là:

12 x 3 = 36 (học sinh)

Đáp số: 36 học sinh

Bài toán 15. An và Khang đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan. An đưa cho cô bán hàng 4 tờ mỗi tờ 50000 đồng và được trả lại 72000000 đồng. Khang nói: “Cô tính sai rồi.” Bạn hãy cho biết Khang nói đúng hay sai? Giải thích tại sao?

Gợi ý: Vì số 18 và số 12 đều chia hết cho 3 nên tổng số tiền mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo phải là số chia hết cho 3. Vì An đưa cho cô bán hàng 4 tờ 50000 đồng và được trả lại 72000 đồng nên số tiền cô bán hàng đã lấy để thanh toán cho 18 gói bánh và 12 gói kẹo là:

50000 x 4 – 72000 = 128000 (đồng)

Vì số 128000 có tổng các chữ số không chia hết cho 3 nên số 128000 không chia hết cho 3

Vì vậy bạn Khang nói: “Cô tính sai rồi.” là đúng.

Bài toán 16. Nhà máy dệt Bình Minh có một số công nhân hưởng mức lương 360000đ một tháng, một số khác hưởng mức lương 495 000đ một tháng và số còn lại hưởng mức lương 672 000đ một tháng. Sau khi phát lương tháng 7 cho công nhân, cô kế toán cộng sổ hết tất cả 273 815 000đ. Hỏi cô kế toán tính đúng hay sai? Giải thích tại sao?

Gợi ý: Mức tiền lương tháng của mỗi công nhân đều là một số chia hết cho 3 cho nên tổng số tiền phát lương hàng tháng của nhà máy phải là một số chia hết cho 3. Mà số tiền lương cô kế toán cộng là 273 815 000đ - không chia hết cho 3. Vậy cô kế toán đã cộng sai.

Bài toán 17. Có 10 mẩu que lần lượt dài: 1cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, ... , 9 cm, 10 cm. Hỏi có thể dùng cả 10 mẩu que đó để xếp thành một hình tam giác đều được không? (không làm thay đổi hình dạng của mỗi que).

Gợi ý: Một hình tam giác đều có cạnh là a (là số tự nhiên) thì chu vi (P) của hình đó phải là một số chia hết cho 3 vì P = a x 3. Tổng độ dài của 10 mẩu que là:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 (cm)

Vì 55 không chia hết cho 3 nên không thể xếp 10 mẩu que đó thành một hình tam giác đều được.

Bài toán 18. Cho số tự nhiên A. Người ta đổi chỗ các chữ số của A để được số B gấp 3 lần số A. Chứng tỏ rằng số B chia hết cho 27.

Gợi ý: Theo bài ra ta có: B = 3 x A (1) , suy ra B chia hết cho 3. Nhưng tổng các chữ số của số A và số B là như nhau (vì người ta chỉ đổi chỗ các chữ số) nên ta cũng có A chia hết cho 3 (2).

Từ (1) và (2) suy ra B chia hết cho 9.

B chia hết cho 9 nên A cũng chia hết cho 9 (vì tổng các chữ số của số A và số B như nhau) (3).

Từ (1) và (3) suy ra B chia hết cho 27.

Hướng 5: Các bài toán có lời văn chia cho các số 2, 3, 5, 9 có dư.

Đây là hướng khai thác sâu hơn từ dấu hiệu chia hết cũng nhằm củng cố về dấu hiệu chia hết. Không những biết số chia hết cho số cho trước hay không mà còn biết khi số đó không chia hết thì phép chia còn dư bao nhiêu?

Bài toán 19. Một bạn cắt 1 tờ giấy làm 4 mảnh, rồi lại lấy 1 mảnh cắt làm 4 và lại lấy 1 mảnh nào đó cắt làm 3. Bạn ấy cứ làm như vậy cho tới một lúc thì dừng lại và đếm số mảnh giấy có được. Bạn ấy đếm được 2017 mảnh. Nếu đếm đúng thì bạn ấy đã có bao nhiêu lần cắt? Chứng tỏ rằng số mảnh giấy có được không thể là 2018.

Gợi ý: Mỗi lần cắt thì số mảnh giấy tăng thêm 3 nên số mảnh giấy nhận được là số chia cho 3 dư 1 (vì lúc đầu có 1 mảnh). Số 2017 chia 3 được 672 dư 1 nên nếu bạn ấy đếm đúng thì bạn ấy cắt 672 lần. Số 2018 chia 3 dư 2 nên bạn ấy đếm sai.

Bài toán 20. Sĩ số lớp 4B nếu thêm 1 bạn thì chia hết cho 2, nếu thêm 2 bạn thì chia hết cho 3 và nếu thêm 4 bạn thì chia hết cho 5. Biết rằng lớp không có quá 50 bạn. Hỏi sĩ số lớp 4 B là bao nhiêu?

Gợi ý: Sĩ số chia cho 2, 3, 5 đều dư 1 và sĩ số là 31.

Bài toán 21. Lớp 4C khi xếp hàng 2 thì thừa 1 bạn, xếp hàng 3 thì thừa 2 bạn, xếp hàng 5 thì thừa 4 bạn. Biết rằng sĩ số lớp nhiều hơn 20 nhưng không quá 50. Tính sĩ số lớp 4C.

Gợi ý: Để ý các số dư đều là số dư lớn nhất khi chia cho các số 2, 3, 5. Do đó nếu sĩ số thêm 1 bạn thì sĩ số mới sẽ là số chia hết cho các số 2, 3, 5. Từ đó đi tìm sĩ số với giả thiết đã thêm 1 bạn thì ta được 30. Do đó sĩ số lớp là 29.

Hướng 6: Tìm chữ số tận cùng của một tích

Nhiều bài toán tìm chữ số tận cùng liên quan tới dấu hiệu chia hết cho 5. Đặc biệt là những tích có tận cùng bằng những chữ số 0, bài toán còn yêu cầu cho biết số chữ số 0.

Bài toán 22. Cho A = 1 x 2 x 3 x …..x 90 (tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 90). Hỏi A có tận cùng là mấy chữ số 0.

Gợi ý: Xét các thừa số chia hết cho 5 phân làm 2 nhóm:

Nhóm 1 gồm các thừa số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25: gồm 18 số

Nhóm 2 gồm các thừa số chia hết cho 5 có thể phân tích thành tích của hai thừa số 5 là: 25,50, 75.

Tích trên có thể phân tích thành số các thừa số 5 là: 18 + 3 = 21 (số).

Mỗi thừa số 5 nhân với 1 số chẵn cho ta một số có tận cùng là 1 chữ số 0. Do đó trong tích có bao nhiêu thừa số 5 kết hợp với số lượng số chẵn tương ứng sẽ cho ta bấy nhiêu chữ số 0 ở tận cùng của tích.

Vậy A có tận cùng là 21 chữ số 0.

Bài toán 23. Tìm chữ số tận cùng của tích sau:

1 x 3 x 5 x 7 x … x 2009 x 2011

(Đề thi Violympic vòng 18)

Gợi ý: Ta thấy rằng tích trên gồm các thừa số là số lẻ và có thừa số 5 nên tích có tận cùng là 5.