Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11: Phương pháp quy nạp toán học - Dãy số

Câu 1. Hãy xem trong lời giải của bài toán sau đây có bước nào bị sai?

Bài toán: chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, mệnh đề sau đây đúng:

A(n) : “nếu a và b là những số nguyên dương mà max{a,b} = n thì a = b”

Chứng minh :

Bước 1: A(1):”nếu a,b là những số nguyên dương mà max{a,b} = 1 thì a = b”

Mệnh đề A(1) đúng vì max{a,b} = 1 và a,b là những số nguyên dương thì a= b =1.

Bước 2: giả sử A(k) là mệnh đề đúng vơi k≥1

Bước 3: xét max{a,b} = k+1 ⇒max{a-1,b-1} = k+ 1-1 = k

Do a(k) là mệnh đề đúng nên a- 1= b-1 ⇒ a= b⇒ A(k+1) đúng.

Vậy A(n) đúng với mọi n ∈N*

A. Bước 1         B. Bước 2

C. Bước 3         D. Không có bước nào sai

Câu 2. Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy. Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?

A. Mạnh thu được 122 mảnh

B. Mạnh thu được 123 mảnh

C. Mạnh thu được 120 mảnh

D. Mạnh thu được 121 mảnh

Câu 3. Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_n = n² – 4n – 2. Khi đó u₁₀ bằng:

A. 48         B. 60

C. 58         D. 10

Câu 4. Cho dãy số u_n = 1+ (n +3).3ⁿ. khi đó công thức truy hồi của dãy là:

A. u_n+1 = 1 +3u_n với n≥1

B. u_n+1 = 1 +3u_n + 3ⁿ⁺¹ với n≥1

C. u_n+1 = u_n + 3ⁿ⁺¹ - 2 với n≥1

D. u_n+1 =3u_n + 3ⁿ⁺¹ - 2 với n≥1

Câu 5. Cho dãy số (u_n) xác định bởi :

Công thức của u_n+1 theo n là:

Câu 6. Cho dãy số (vn) xác định bởi :

Khi đó v₁₁ bằng:

A. 3¹¹         B. 3¹⁰²⁴

C. 3³²         D. 3²²

Câu 7. Cho dãy số u_n = n² – 4n + 7. Kết luận nào đúng?

A. Dãy (u_n) bị chặn trên

B. Dãy (u_n) bị chặn dưới

C. Dãy (u_n) bị chặn

D. Các mệnh đề A,B,C đều sai

Câu 8. Cho dãy số z_n = 1 + (4n – 3).2n

A. Dãy z_n là dãy tăng

B. Dãy z_n bị chặn dưới

C. Cả A và B đề sai

D. Cả A và B đều đúng

Hướng dẫn giải và Đáp án

Câu 1:

Đáp án là C. Ta có a,b∈N* không suy ra a -1, b -1∈N* . Do vậy không áp dụng được giả thiết quy nạp cho cặp {a -1, b -1}.

Chú ý: nêu bài toán trên đúng thì ta suy ra mọi số tự nhiên đều bằng nhau. Điều này là vô lí.

Câu 2:

Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh tạo thêm 6 mảnh giấy. Do đó công thức tính số mảnh giấy theo n bước được thực hiện là S_n = 6n + 1. Ta chứng minh tính đúng đắn của công thức trên bằng phương pháp quy nạp theo n.

Bước cơ sở. Mạnh cắt mảnh giấy thành 7 mảnh, n =1, S(1) = 6.1+1 =7

Công thức đúng với n = 1

Bước quy nạp: giả sử sau k bước, Mạnh nhận được số mảnh giấy là S(k) = 6k + 1

Sang bước thứ k +1, Mạnh lấy một trong số những mảnh giấy nhận được trong k bước trước và cắt thành 7 mảnh. Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong S(k) mảnh và thay vào đó 7 mảnh được cắt ra. Vậy tổng số mảnh giấy ở bước k + 1 là: S(k =1) = S(k) -1 + 7= S(k) + 6 = 6k + 1 + 1 = 6(k+1) +1

Vậy công thức S(n) đúng với mọi n ∈N* . Theo công thức trên chỉ có phương án D thoả mãn vì 121 =6.20 + 1

Đáp án D

Câu 3:

u₁₀ = 10² – 4.20 – 2 =58

Đáp án C

Câu 4:

u_n+1 = 1+ (n+4).3ⁿ⁺¹ = 1 + (n+3).3ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹

= 1 + 3ⁿ.(n+3).3 + 3ⁿ⁺¹ = 3[1 + (n+ 3).3ⁿ] + 3ⁿ⁺¹ – 2 = 3u_n + 3ⁿ⁺¹ -2

Đáp án là D

Câu 5:

u₁ = 1

u₂ = 1 + 1²

u₃ = 1 + 1² + 2²

u₄ = 1 + 1² + 2² + 3²

...

=> Đáp án A

Câu 6:

v₁=3=3^2o

v₂=3²=3²¹

v₃=3⁴=3²²

v₄=3⁸=3²³

...

v_n=3²ⁿ⁺¹⇒v₁₁=3²¹⁰=3²⁰¹⁴

Đáp án là B

Câu 7:

u_n = n² – 4n + 7 = (n -2)² + 3≥3

⇒(u_n) bị chặn dưới bởi 3

(u_n) không bị chặn trên bởi vì n càng lớn thì u_n càng lớn

Đáp án là B

Câu 8:

z_n+1 = 1 + (4n+1).2ⁿ⁺¹;

z_n = 1 + (4n-3).2ⁿ

⇒ z_n+1-z_n=2ⁿ⁺¹(4n+5) > 0 ∀n∈N*

⇒ (z_n) tăng ⇔ z_n ≥ z₁ = 3 ∀n∈N*

Đáp án là D

Tham khảo thêm các Bài tập trắc nghiệm Đại số và giải tích 11