Bài ôn tập chương 3 hình 7 tập 2: Bài 63,64,65, 66,67,68, 69,70 trang 87, 88 SGK Toán 7

Bài ôn tập chương 3 hình 7 tập 2: Bài 63,64,65, 66,67,68, 69,70 trang 87, 88 SGK Toán 7

Đáp án và hướng dẫn Giải bài ôn tập chương 3 hình 7 tập 2: Bài 63, 64, 65, 66, 67 trang 87;  68, 69, 70 trang 88 SGK Toán lớp 7 tập 2.

Chương 3 các em cần nhớ và hệ thống lại kiến thức:

– Quan hệ giữa các yếu tố cạnh,góc của 1 tam giác.

– Các kiến thức về các loại đường đồng quy trong tam giác (trung tuyến , phân giác , đường trung trực , đường cao )

Bài 63. Cho ∆ ABC với AC < AB.

Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB

Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = AC.

Vẽ các đoạn thẳng AD, AE

a) Hãy so sánh góc ADC và góc AEB

b) Hãy so sánh các đoạn thẳng AD và AE

a) Xét ∆ABC có AC < AB (gt)

∠B₁ < ∠C₁ (1) (Quan hệ cạnh – góc đối diện trong ∆)

Xét ∆ABD có AB = BD (gt)

∆ABD cân    ⇒   ∠A₁ = ∠D₁ (t/c tg cân)

Mà ∠B₁ = ∠A₁ + D (Góc ngoài ∆)

⇒∠D = ∠A₁ = ∠B₁ /2 (2)

Chứng minh tương tự ta có: ∠E = ∠C₁ /2  (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra: ∠ADC < ∠AEB

b) Xét ∆ADE có ∠D < ∠E (Chứng minh câu a)

⇒ AE < AD (Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)

Bài 64 trang 87 Toán 7 tập 2. Gọi MHH là đường cao của ∆MNP. Chứng minh rằng: Nếu MN < MP thì HN < HP và góc ∠NMH < ∠PMH (Yêu cầu xét hai trường hợp: Khi góc N nhọn và khi góc N tù)

a) Trường hợp góc N nhọn
MNP có đgx MN < đgx MP
nên hchiếu HN < hchiếu HP
MNP có MN < MP
nên (đl) (1)
MHN vuông tại H nên: (2)
MHP vuông tại H nên:
(3)
Từ (1,2,3) suy ra:

b) Trường hợp góc N tù
Vìtù nên đường cao MH nằm ngoài MNP
N nằm giữa H và P
HN<HP
Vì N nằm giữa H và P
tia MN nằm giữa MH và MP.

⇒ PMN + NMH = PMH
⇒ NMH < PMH

Bài 65. Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh nằm trong năm đoạn thẳng có độ dài như sau: 1cm, 2cm, 3cm, 4cm và 5cm.

Để tạo được một ∆ thì độ dài ba cạnh phải thoả mãn bất đẳng thức ∆ đó là tổng độ dài hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn cạnh còn lại.

Vì vậy chỉ có bộ ba độ dài sau thoả mãn (2,3,4); (2,4,5); (3,4,5).

Bài 66. Đố: Bốn điểm dân cư được xây dựng như hình 58. Hãy tìm vị trí đặt một nhà máy sao cho tổng các khoảng cách từ nhà máy đến bốn điểm dân cư này là nhỏ nhất.

Nhà máy sẽ xây dựng ở giữa trung tâm hình tròn trên hình vẽ thì tổng các khoảng cách từ nhà máy đến bốn điểm dân cư này là nhỏ nhất.

Bài 67 trang 87 Cho ∆ MNP với đường trung tuyến MR và trọng tâm Q.

a) Tính tỷ số diện tích của 2 ∆MPQ và RPQ.

b) Tính tỷ số diện tích của 2 ∆MNP và RNQ.

c) So sánh các diện tích của 2 ∆RPQ và RNQ.

Từ các kết quả trên hãy chứng minh ∆QMN, QNP, QPM có cùng diện tích.

Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao

a) Vẽ PB ⊥ MR
Vậy ∆ MPQ và RPQ có chung đường cao PB
Vì Q là trọng tâm của ΔMNR nên MQ = 2QR
Ta có: SΔMPQ = 1/2MQ.PB = 1/2.2QR.pb = QR.PB
và SΔRPQ = 1/2 QR.PB

b) Vẽ NA ⊥ MR
Vậy NA là đường cao của ΔMNQ
đồng thời là đường cao của ΔRNQ
Vì Q là trọng tâm của ΔMNQ nên MQ = 2QR
Ta có: SΔMNQ = 1/2MQ.NA = 1/2.2QR.NA = QR.NA và SΔRNQ

= 1/2 QR.NA

c) Xét hai ∆ vuông ARN và BPR ta có:
RN = RP (gt)
∠NRA = ∠PRB (đối đỉnh)
⇒ ΔANR = ΔBPR ⇒ NA = PB
Ta có: SΔRPQ = 1/2 QR.PB = 1/2QR.NA = SΔRNQ
Vậy ΔRPQ = ΔRNQ
*Từ kết quả câu a ta có:

SΔMPQ = 2SΔPRQ = SΔQNP (do câu c) (1)
* Từ kết quả câu b ta có:
SΔMNQ = 2SΔRNQ = SΔQNP (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
SΔQMN = SΔQNP = SΔQPM (đpcm)

Bài 68. Cho góc xOy, hai điểm A,B lần lượt nằm trên Ox và Oy.

a) Hãy tìm điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy và cách đều hai điểm A,B.

b) Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thoả mãn yêu cầu ở câu a?

Giải:

a) 

Tìm M khi OA ≠ OB
– Vì M cách đều hai cạnh Ox, Oy của góc xOy nên M nằm trên đường phân giác Oz của góc xOy (1)
– Vì M cách đều hai điểm A,B nên M nằm trên đường trung trực của đoạn AB (2)
Từ (1) và 92) ta xác định được điểm M là giao điểm của đường phân giác Oz của góc xOy và đường trung trực của đoạn AB.

b)

Tìm M khi OA = OB
– Vì điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy nên M nằm trên đường phân giác của góc xOy (3)
– Ta có OA = OB. Vậy ΔAOB cân tại O.
Trong ∆ cân OAB đường phân giác Oz cũng là đường trung trực của đoạn AB (4)
Từ (3) và (4) ta xác định được vô số điểm M nằm trên Oz thỏa mãn điều kiện bàitoán.

Bài 69 trang 88 Cho hai đường thẳng phân biệt không song song, không vuông góc với nhau là a và b, điểm M không nằm trên hai đường này. Qua M lần lượt vẽ đường thẳng c vuông góc với a tại P, cắt b tại Q và vẽ đường thẳng d vuông góc với b tại R, cắt a tại S.

Chứng minh rằng đường thẳng qua M vuông góc với SQ cũng đi qua giao điểm của a và b.

HD: Vì a và b không song song nên chúng cắt nhau giả sử tại A.

Xét ∆AQS có: QP ⊥ AS vì QP ⊥ a.

SR ⊥ AQ vì SR ⊥ b.

Ta có QP và RS cắt nhau tại M.

Vậy M là trực tâm của ΔAQS.

=> Đường thẳng đi qua M và vuông góc với QS tại H sẽ là đường cao thứ ba của ΔAQS.

Vậy MH phải đi qua đỉnh A của ΔAQS hay đường thẳng vuông góc với QS đi qua giao điểm của a và b (Điều phải chứng minh).

Bài 70. Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

a) Ta ký hiệu P_A là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d có chứa điểm A (không kể d). Gọi N là một điểm của P_A và M là giao điểm của đường thẳng NB và d. Hãy so sánh NB với NM + MA. Từ đó suy ra NA < NB.

b) Ta ký hiệu P_B là nửa mặt phẳng bờ d có chứa B (không kể d). Gọi N’ là một điểm của P_B. Chứng minh rằng N’B < N’A.

c) Gọi L là một điểm sao cho LA < LB. Hỏi điểm L nằm ở đâu?

a) So sánh NB với NM + MA
Ta có M nằm trên đường trung trực của AB nên MA = MB
Vì M nằm giữa đoạn NB nên:
NB = NM + MB
hay NB = NM + MA (vì MB = MA)
Vậy NB = NM + MA
Vì MA + NM = NB (trong đó NM > 0)
Suy ra MA < NB (đpcm)

b) Chứng minh N’B < N’A
Tương tự chứng minh câu a
Trong nửa mặt phẳng PB ta lấy điểm N’. Nối N’A cắt (d) tại P.
Vì P nằm trên đường trung trực của đoạn AB nên: PA = PB
Ta có: N’A = N’P + PA = N’P + PB
Trong ΔN’PB ta có: N’P + PB > N’B
Do đó: N’A > N’B (đpcm)

c) Theo chứng minh ở câu a muốn cho LA < LB thì điểm L phải nằm trên P_A