Bài 88,89,90 ,91,92,93 ,94,95,96 ,97,98,99 trang 103,104,105 SGK Toán 9 tập 2: Ôn tập chương 3 hình học 9

Bài 88,89,90 ,91,92,93 ,94,95,96 ,97,98,99 trang 103,104,105 SGK Toán 9 tập 2: Ôn tập chương 3 hình học 9

Hướng dẫn giải bài 88 trang 103; Bài 89,90,91,92,93 trang 104; bài 94,95,96,97,98,99 trang 105 SGK Toán 9 tập 2:  Ôn tập chương 3 hình học 9.

Bài 88 trang 103. Hãy nêu tên mỗi góc trong các hình dưới đây:
(Ví dụ: Góc trên hình 66b) là góc nội tiếp)

a) Góc ở tâm

b) Góc nội tiếp

c) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

d) Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

e) Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Bài 89 trang 104. Trong hình 67, cung AmB có số đo là 60º. Hãy:
a) Vẽ góc ở tâm chắn cung AmB. Tính góc AOB
b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn cung AmB. Tính góc ACB.
c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dây cung BA. Tính góc ABt
d) Vẽ góc ADB có đỉnh D ở bên trong đường tròn. So sánh góc ADB với góc ACB
e) Vẽ góc AEB có đỉnh E ở bên ngoài đường tròn ( E và C cùng phía đối với AB). So sánh góc AEB với ACB.

Hướng dẫn : a) Từ O nối với hai đầu mút của cung AB
Ta có ∠AOB là góc ở tâm chắn cung AB
– Vì ∠AOB là góc ở tâm chắn cung Ab nên: ∠AOB = sđ cung AB = 60º
b) Lấy một điểm C bất kì trên (O). Nối C với hai đầu mút của cung AmB. Ta được góc nội tiếp ∠ACB
Khi đó ∠ACB = 1/2 sđ cung AmB = 1/2. 60º = 30º

c) Vẽ bán kính OB. Qua B vẽ Bt ⊥ OB. Ta được góc ABt là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt với dây cung BA.
-Ta có ∠ABt = 1/2 sđ cung AmB = 30º
d) Lấy điểm D bất kỳ ở bên trong đường tròn (O)
Nối D với A và D với B
Ta có góc ADB là góc ở bên trong đường tròn (O)
– Ta có: ∠ACB = 1/2sđ cung AmB
Mà sđ cung AmB + sđ cung CK > sđ cung AmB (do số đo cung CK > 0)
Suy ra góc ∠ADB = ∠ACB

e) Lấy điểm E bất kỳ ở bên ngòai đường tròn, nối E với A và E với B, chúng cắt đường tròn lần lượt tại J và I.
Ta có góc ∠AEB là góc ở bên ngoài đường tròn (O)
Ta có ∠ACB = 1/2sđ cung AmB
∠ACB = 1/2(sđ cung AmB – sđ cung IJ)
Mà sđ cung AmB – sđ cung IJ < sđ cung AmB (do sđ cung IJ > 0)
Suy ra góc AEB < góc ACB.

Bài 90 trang 104  Ôn tập chương

a) Vẽ hình vuông cạnh 4cm
b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính R của đường tròn này.
c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính r của đường tròn này.

a) Hình vuông ABCD: AB = BC = CD = AD = 4cm
∠A= ∠B = ∠C = ∠D = 90º

b) Bán kính OA của đường tròn ngoại tiếp ABCD bằng nửa đường chéo của hình vuông.
R = OA = 1/2AC = 1/2 √(AB² + BC²)
= 1/2 √(4² + 4²) = 2√2cm

c) Đường kính của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD bằng cạnh hình vuông. Bán kính r của nó bằng:
r = 1/2AD = 1/2BC = 2cm

Bài 91 trang 104 .Trong hình 68, đường tròn tâm O có bán kính R = 2cm. Góc ∠AOB = 75º
a) Tính sđ cung ApB
b) Tính độ dài hai cung AqB và ApB
c) Tính diện tích hình quạt tròn OAqB

a) sđ cung ApB
Ta có: ∠AOB = 75º (gt) => sđ góc AqB = 75º

⇒ sđ góc ApB = 360º – sđ cung AqB = 360º – 75º = 285º
Vậy số đo cung AqB = 285º

b) Độ dài hai cunh AqB và ApB:

đd cung AqB = (π.2.75)/180 ≈ 2,62 (cm)
đd cung AqB = 2πR -đd cung AqB = 2.3,14.2 -2,62 = 9,94 (cm)
Vậy đd cung AqB = 2,62 cm, đd cung ApB = 9,94 cm
c)

= 2,62 (cm²)
Vậy SqtOAqB = 2,62cm².

Bài 92 trang 104. Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 69,70,71 (đơn vị độ dài: cm)

* Hình a)

Gọi R,r lần lượt là bán kính đường tròn lớn và đường tròn nhỏ.

Đo đạc ta được R = 1,5cm, r = 1cm

Diện-tích hình tròn lớn: S = ΠR² = 3,14 x 1,5² = 7,07 (cm²)

Diện-tích hình tròn nhỏ: S = Πr² = 3,14 x 1² = 3,14 (cm²)

Diện-tích hình quạt sọc: S_SOC = S – s = 7,07 – 3,14 = 3,93 (cm²)

* Hình b) Đo đạc ta được R =1,5cm; r = 1cm; n = 75º

Diện-tích hình quạt lớn: 1,57

Diệntích hình quạt nhỏ: 0,7

Diệntích hình gạch sọc: S_SOC = S1 – S2 = 1,57 – 0,7 =  0,87 (cm²)

* Hình c)

Đo đạc ta được cạnh hình vuông: 3cm, bán kính cung tròn: 1,5cm

Theo hình vẽ, diệntích phần gạch dọc bằng diệntích hình vuông trừ diện tích hình tròn nên:

S_SOC = 3² – π x 1,5 = 3²  -3,14 x 1,5² = 1,94 (cm²)

Bài 93 trang trang 105 Toán 9 . Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng. Biết bán kính bánh xe C là 1cm. Hỏi :
a.Khi bánh xe C quay 60 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?
b.Khi bánh xe A quay 80 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?

HD: a) Khi C quay 60 vòng thì 20 răng trên C tạo ra 20 x 60 = 1200 răng* Bánh xe B có 40 răng khớp với 1200 răng của bánh xe C nên số vòng bánh xe B quay đươc là 1200 : 40 = 30 (vòng)
b) Khi A quay 80 vòng thì 60 răng trên A tạo ra 60 x 80 = 4800 răng
* Bánh xe B có 40 răng khớp với 4800 răng của bánh xe A nên số vòng quay của bánh xe B quay được là 4800 : 40 = 120 (vòng)
c) Gọi R1, R2,R3 theo thứ tự là bán kính của A,B,C

Bài 94 trang 105. Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện ngoại trú, bán trú, nội trus (h.72) Hãy trả lời các câu hỏi sau:
a) Có phải 1/2 số học sinh là học sinh ngoại trú không?
b) Có phải 1/3 số học sinh là học sinh bán trú không?
c) Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm?
d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là 1800 em.

Đáp án 94: a) Biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn học sinh ngoại trú có số đo cung 90º bằng nửa số đo cung nửa hình tròn
=> 1/2 số học sinh là học sinh ngoại trú
b) Biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn học sinh bán trú có số đo cung là 180º – (90º + 30º) = 60º nên bằng 1/3 số đo nửa hình tròn
=> 1/3 số học sinh là học sinh bán trú.
c) Số học sinh nội trú chiếm 1/6 số học sinh, tỉ lệ gần bằng 16,7%
d) * Số học sinh ngoại trú là 1800 x 1/2 = 900 (học sinh)
* Số học sinh bán trú là 1800 x 1/3 = 600 ( học sinh)
* Số học sinh nội trú là 1800 x 1/6 = 300 ( học sinh)

Bài 95 trang 105. Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H ( góc C khác 90º) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) CD = CE
b) ΔBHD cân
c) CD = CH

a) Trong các tam giác vuông AB’H và BA’H ta có:

∠A₁ + ∠H₁ = ∠H₂ + ∠B₂ = 90º

Vì  ∠H₁ = ∠H₂ ( đối đỉnh) nên ∠A₁ = ∠B₂

Mặt khác ∠A₁ = 1/2 sđ cung CD; ∠B₂ = 1/2 sđ cung CE

Mà ∠A₁ = ∠B₂ => sđ cung CD = sđ cung CE => CD = CE

b) Trong tam giác BHD ta có BA’ là đường cao kẻ từ B.

Mặt khác: ∠B₁ = 1/2 sđ cung CD = 1/2 sđ cung CE = ∠B₂ ⇔ BC là tam giác của góc DBH

Đường cao BA’ đồng thời là đường phân giác

Vậy tam giác BHD cân tại B.

c) Do đường thẳng BA’ là đường trung trực của DH (tính chất tam giác cân) Mà C nằm trên đường trung trực của BH nên CD = CH.

Bài 96. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tai phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng:
a) OM đi qua trung điểm của dây BC.
b) AM là tia phân giác của góc OAH.

a) Om đi qua trung điểm của BC.
Gọi N là giao điểm của OM và BC
Ta có: ∠BAM = ∠MAC (gt)
=> cung MB = cung MC ( chắn bởi hai góc nội tiếp bằng nhau)
=> NB = NC ( đường kính từ đi qua trung điểm của cung)
Vậy OM đi qua trung điểm N của BC.
b) Am là phân giác của góc OAH
NB = NC => OM ⊥ BC
⇒ OM // AH ( cùng vuông góc với BC)
⇒ ∠MAH = ∠AMO ( so le trong) ⇒ ∠AMO = ∠MAO ( ΔOAM cân tại O)
⇒ ∠MAH = ∠MAO ( cùng bằng ∠AMO)
Vậy AM là phân giác của góc OAH.

Bài 97 trang 105. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằngL
a) ABCD là một tứ giác nội tiếp
b) ∠ABD = ∠ACD
c) CA là tia phân giác của góc SCB.

a) ABCD là tứ giác nội tiếp:
ΔCMB nội tiếp đường tròn cạnh CM là đường kính nên vuông tại D, hay góc D = 90º
Hai điểm A và D cùng nhìn đoạn BC dưới một góc 90º nên ở trên đường tròn đường kính BC.
Vậy: ABCD là tứ giác nội tiếp.
b) ∠ABD = ∠ACD
ABCD là tứ giác nội tiếp nên => ∠ABD = ∠ACD ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) (đpcm)
c) CA là phân giác của SCB
∠SCM = ∠ADM (cùng bằng 1/2sđ cung SDM)
∠ACB = ∠ADM ( cùng chắn cung AB)
⇒ ∠SCM = ∠ACB (=∠ADm) => AC là phân giác của góc SCB (đpcm).

Bài 98. Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.

Thuận: Giả sử M là trung điểm của dây AB,
Ta có OM ⊥ AB (định lí

Khi B di động trên (O), điểm M luôn nhìn OA, cố định khỏi góc vuông, vậy M thuộc đường tròn đường kính OA.

Đảo: Lấy điểm M’ bất kì trên đường tròn đường kính OA>
Nối M’ với A, đường thẳng M’A cắt đường tròn (O) tại B’. Nối M’ với O ta có

∠AM’O = 90º hay OM’ ⊥ AB suy ra M’ là trung điểm của AB’.

Kết luận: Tập hợp các trung điểm của dây AB là đường tròn đường kính OA.

Bài 99. Dựng ΔABC, biết BC = 6cm, góc BAC = 80º, đường cao AH có độ dài 2cm.

Dựng đoạn BC=6cm.

Trên một nửa mặt phẳng bờ BC,dựng cung tròn tâm O chứa góc 40 độ trên BC( Bài toán cung chứa góc- Lớp 9)

Dựng đường thẳng d//BC, cách BC một khoảng bằng 4cm, giao điểm của cung tròn 40 độ với d là điểm A cần dựng.

Chứng minh: tam giác ABc có: BC=6cm(cách dựng)
AH=khỏang cách giữa hai đường // bằng 4cm.

góc BAC bằng 40 độ do A nằm trên cung chứa góc 40 độ.
Vậy tam giác cần dựng thỏa mãn điều kiện bài.

Biên luận: Trên một nửa mặt phẳng bờ BC luôn dựng được cung tròn 40độ. Góc COB=80 độ, D là điểm chính giữa cung lớn BC, H là trung điểm của BC thì: BH=3cm.

HD=OH+OB=3.tg50 độ+3:sin40độ>4cm.

Nên d luôn cắt cung tròn tại hai điểm, tức xét trên một nửa mặt phẳng thì bài toán có hai nghiệm hình.