Bài 8 trang 93 SGK Hình học 12

Bài 8 trang 93 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu

Bài 8. Trong hệ toạ độ (Oxyz), viết phương trình mặt phẳng ((α)) tiếp xúc với mặt cầu

(S): ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 2y + 26z + 170 = 0)

và song song với hai đường thẳng

(d:left{ matrix{
x = - 5 + 2t hfill cr
y = 1 - 3t hfill cr
z = - 13 + 2t hfill cr} ight.) 

(d':left{ matrix{
x = - 7 + 3k hfill cr
y = - 1 - 2k hfill cr
z = 8 hfill cr} ight.)

Giải

Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương (overrightarrow a = (2; -3; 2))

                    (d') có vectơ chỉ phương (overrightarrow {a'}  = (3; -2; 0))

Mặt phẳng ((α)) song song với (d) và (d') nhận vectơ (overrightarrow n  = left[ {overrightarrow a ,overrightarrow {a'} } ight]) làm vectơ pháp tuyến.

(overrightarrow n ) = (4; 6; 5)

Phương trình mặt phẳng ((α)) có dạng: (4x + 6y + 5z + D = 0)

Mặt cầu ((S)) có tâm (I(5; -1; -13)) và bán kính (R = 5). Để ((α)) tiếp xúc với mặt cầu ((S)), ta phải có:

(d(I, (α)) = R  Leftrightarrow {{left| {4.5 + 6( - 1) + 5( - 13) + D} ight|} over {sqrt {{4^2} + {6^2} + {5^2}} }} = 5)

                     ( Leftrightarrow left| {D - 5} ight| = 5sqrt {77} )

Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:

+) (D - 51 = 5sqrt{77}) ( Rightarrow ({alpha _1}):4x + 6y + 5z + 51 + 5sqrt {77}  = 0)

+) (D - 51 = -5sqrt{77}) ( Rightarrow ({alpha _2}):4x + 6y + 5z + 51 - 5sqrt {77}  = 0)

soanbailop6.com