Bài 8 trang 190 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài 8 trang 190 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng: a)) Nếu vec tơ ...

Bài 8. Chứng minh rằng:
a)) Nếu vec tơ (overrightarrow u ) của mạt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ (overrightarrow u ) là (left| {overrightarrow u } ight| = left| z ight|), và từ đó nếu các điểm ({A_1},{A_2}) theo thứ tự biểu diễn các số phức ({z_1},{z_2}) thì (left| {overrightarrow {{A_1}{A_2}} } ight| = |{z_2} - {z_1}|;)

b) Với mọi số phức z, z', ta có (left| {zz'} ight| = left| z ight|left| {z'} ight|) và khi (z e 0) thì (left| {{{z'} over z}} ight| = {{|z'|} over {|z|}};)

c) Với mọi số phức z, z', ta có (|z + z'| le |z| + |z'|.)

Giải

a) Nếu (z=a+bi;(a,binmathbb R)) thì (|z| = sqrt {{a^2} + {b^2}} )

(overrightarrow u ) biểu diễn số phức z thì (overrightarrow u  = left( {a;b} ight)) và (|overrightarrow u | = sqrt {{a^2} + {b^2}} ) do đó (left| {overrightarrow u } ight| = left| z ight|).

Nếu ({A_1},{A_2}) theo thứ tự biểu diễn các số phức ({z_1},{z_2}) thì (overrightarrow {{A_1}{A_2}}  = overrightarrow {O{A_2}}  - overrightarrow {O{A_1}} ) biểu diễn ({z_2} - {z_1}) nên (left| {overrightarrow {{A_1}{A_2}} } ight| = |{z_2} - {z_1}|.)

b) (z=a+bi;;z'=a'+b'i) thì (|z{|^2} = {a^2} + {b^2};|z'{|^2} = a{'^2} + b{'^2}) và (z.z' = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i) nên 

(eqalign{
& |z.z'{|^2} = {(aa' - bb')^2} + {(ab' + a'b)^2} = {(aa')^2} + {(bb')^2} + {(ab')^2} + {(a'b)^2} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,, = ({a^2} + {b^2})(a{'^2} + b{'^2}) = |z{|^2}.|z'{|^2} cr
& Rightarrow |zz'| = |z|.|z'| cr} )

Khi (z e 0) ta có:

(left| {{{z'} over z}} ight| = left| {{{z'overline z } over {|z{|^2}}}} ight| = {1 over {|z{|^2}}}|z'.overline z | = {1 over {|z{|^2}}}.left| {z'} ight|.left| {overline z } ight| = {1 over {|z{|^2}}}.|z'|.|z| = {{|z'|} over {|z|}})

c) Giả sử (overrightarrow u ) biểu diễn z và (overrightarrow {u'} ) biểu diễn z' thì (overrightarrow u+overrightarrow {u'} ) biểu diễn z+z'. Ta có:

(left| {overrightarrow u  + overrightarrow {u'} } ight| = left| {z + z'} ight|;,left| {overrightarrow u } ight| = left| z ight|;,left| {overrightarrow {u'} } ight| = left| {z'} ight|)

Mà (left| {overrightarrow u  + overrightarrow v } ight| le left| {overrightarrow u } ight| + left| {overrightarrow v } ight|) nên (left| {z + z'} ight| le left| z ight| + left| {z'} ight|)

Dấu "=" xảy ra khi (z=0) hoặc (z'=0).

soanbailop6.com