Bài 70 trang 141 sgk Toán 7 tập 1, Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN....

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.

a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân.

b) Kẻ BH ⊥ AM (H AM), kẻ CK ⊥ AN (K. Chứng minh rằng BH = CK.

c) Chứng minh rằng AH = AK.

d) Gọi O là giao điểm của HB và KC. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao ?

e) Khi (widehat {BAC} = {60^0})  và BM = CN = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định dạnh của tam giác OBC.

Hướng dẫn làm bài:

a) ∆ABC cân, suy ra  (widehat {{B_1}} = widehat {{C_1}})

 (Rightarrow widehat {ABM} = widehat {ACN})

∆ABM và ∆CAN có:

AB = AC (gt)

(widehat {ABM} = widehat {ACN}) 

BM = ON (gt)

Suy ra (widehat M = widehat N)

=>∆AMN là tam giác cân ở A.

b) Hai tam giác vuông ∆BHM và ∆CKN có :

BM = CN (gt)

(widehat M = widehat N) (CM từ câu a)

Nên ∆BHM  = ∆CHN (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra BH = CK.

c) Theo câu (a) ta có tam giác AMN cân ở A nên AM = AN (*)

Theo câu b ta có ∆BHM = ∆CKN nên suy ra HM = KN (**).

Do đó AH = AM – HM = AN – KN (theo (*) và (**)) = AK

Vậy AH = AK.

d) ∆BHM = ∆CKN suy ra (widehat {{B_2}} = widehat {{C_2}})  

Mà (widehat {{B_2}} = widehat {{B_3}};widehat {{C_2}} = widehat {{C_3}}) (đối đỉnh)

Nên (widehat {{B_3}} = widehat {{C_3}}) .

Vậy ∆OBC là tam giác cân.

e) Khi (widehat {BAC} = {60^0}) và BM = CN = BC.

+Tam giác cân ABC có (widehat {BAC} = {60^0}) nên là tam giác đều.

Do đó: AB = BC = AC = BM = CN

(widehat {ABM} = widehat {ACN} = {120^0}) (cùng bù với 60⁰)

∆ABM cân ở B nên (widehat M = widehat {BAM} = {{{{180}^0} – {{120}^0}} over 2} = {30^0}) .

Suy ra (widehat {ANM} = widehat {AMN} = {30^0}) .

Và (widehat {MAN} = {180^0} – left( {widehat {AMN} + widehat {ANM}} ight) = {180^0} – {2.30^0} = {120^0})

Vậy ∆AMN có (widehat M = widehat N = {30^0};widehat A = {120^0}.)

+∆BHM có: (widehat M = {30^0}) nên (widehat {{B_2}} = {60^0}) (hai góc phụ nhau)

Suy ra (widehat {{B_3}} = {60^0})

Tương tự (widehat {{C_3}} = {60^0})

Tam giác OBC có (widehat {{B_3}} = widehat {{C_3}} = {60^0}) nên tam giác OBC là tam giác đều.

(Tam giác cân có một góc bằng 60⁰ nên là tam giác đều).