Bài 7 trang 127 Giải tích 12

Bài 7 trang 127 Giải tích 12

Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.

Bài 7. Xét hình phẳng D giới hạn bởi (y = sqrt {1 - {x^2}} ) và (y = 2(1-x))

a) Tính diện tích hình D

b) Quay hình D xung quanh trục (Ox). Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.

Trả lời:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

(eqalign{
& 2sqrt {1 - {x^2}} = 2(1 - x) Leftrightarrow left{ matrix{
1 - x ge 0 hfill cr 
1 - {x^2} = {(1 - x)^2} hfill cr} ight. cr 
& Leftrightarrow left{ matrix{
x le 1 hfill cr 
2{x^2} - 2x = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x le 1 hfill cr 
left[ matrix{
x = 0 hfill cr 
x = 1 hfill cr} ight. hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0 hfill cr 
x = 1 hfill cr} ight. cr} )

Đồ thị của hàm số (y = sqrt {1 - {x^2}} ) là một nửa elip ({x^2} + {{{y^2}} over 4} = 1) với y ≥ 0

Từ đồ thị trên ta có, diện tích của D:

(eqalign{
& S = int_0^1 {left[ {2sqrt {1 - {x^2}} - 2(1 - x)} ight]} dx cr
& = 2left[ {int_0^1 {sqrt {1 - {x^2}} dx - int_0^1 {(1 - x)dx} } } ight] cr} )

Tính (int_0^1 {sqrt {1 - {x^2}} } dx) :

Đặt (x = sin t) , ta có: (dx = cost dt); (x=0 Rightarrow t= 0); (x=1 Rightarrow t={pi  over 2})

Suy ra:

(eqalign{
& int_0^1 {sqrt {1 - {x^2}} } dx = int_0^{{pi over 2}} {sqrt {1 - {{sin }^2}t} } .costdt cr
& = int_0^{{pi over 2}} {{mathop{ m cost} olimits} .costdt = int_0^{{pi over 2}} {{{cos }^2}tdt} } cr
& = {1 over 2}int_0^{{pi over 2}} {(1 + cos 2t)dt = {1 over 2}} left[ {t + {1 over 2}sin 2t} ight]left| {_0^{{pi over 2}}} ight. = {pi over 4} cr
& int_0^1 {(1 - x)dx = (x - {{{x^2}} over 2})left| {_0^1} ight.} = {1 over 2} cr
& Rightarrow D = 2({pi over 4} - {1 over 2}) = {pi over 2}-1 cr} )

b) Dựa vào hình trêm ta có thể tích cần tìm là:

(eqalign{
& V = 4pi int_0^1 {left[ {(1 - {x^2}) - (1 - {x})^2} ight]} dx cr
& = 8pi int_0^1 {(x - {x^2}} )dx = 8pileft( {{{{x^2}} over 2} - {{{x^3}} over 3}} ight)left| {_0^1} ight. cr
& = 8pi ({1 over 2} - {1 over 3}) = {{4pi } over 3} cr} )

soanbailop6.com