Bài 63 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao

Bài 63 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số: b) Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên. c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

Bài 63

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ((H)) của hàm số: (y = {{x + 2} over {2x + 1}})

b) Chứng minh rằng đường thẳng (y = mx + m - 1) luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.

c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong ((H)) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

Giải

a) Tập xác định: (D =mathbb Rackslash left{ { - {1 over 2}} ight})

+) Sự biến thiên:

(y' = {{ - 3} over {{{(2x + 1)}^2}}} < 0,forall x in D)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (left( { - infty ; - {1 over 2}} ight)) và (left( { - {1 over 2}; + infty } ight))

Giới hạn:

(mathop {lim y}limits_{x o  - {{{1 over 2}}^ - }}  =  - infty ;,mathop {lim y}limits_{x o  - {{{1 over 2}}^ + }}  =  + infty )

Hầm số không có cực trị.

Tiệm cận đứng: (x={ - {1 over 2}})

(mathop {lim y}limits_{x o  pm infty }  = {1 over 2})

Tiệm cận ngang (y={1 over 2})

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao (Ox) tại điểm ((-2;0))

Đồ thị giao (Oy) tại điểm ((0;2)) 

b) Ta có (y = mx + m - 1 Leftrightarrow y + 1 = mleft( {x + 1} ight))

Tọa độ điểm cố định (A) của đường thẳng là nghiệm của hệ:

(left{ matrix{
x + 1 = 0 hfill cr
y + 1 = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = - 1 hfill cr
y = - 1 hfill cr} ight.)

Vậy (A(-1;1))

Tọa độ (A) thỏa mãn phương trình (y = {{x + 2} over {2x + 1}}) nên (A) thuộc đường cong ((H)).

c) Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong ((H)) là nghiệm của phương trình:

(eqalign{
& ,,,mleft( {x + 1} ight) - 1 = {{x + 2} over {2x + 1}} Leftrightarrow left( {2x + 1} ight)left[ {mleft( {x + 1} ight) - 1} ight] = x + 2 cr
& Leftrightarrow mleft( {x + 1} ight)left( {2x + 1} ight) - left( {2x + 1} ight) = x + 2 cr
& Leftrightarrow left( {x + 1} ight)left( {2mx + m - 3} ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = - 1 hfill cr
fleft( x ight) = 2mx + m - 3 = 0,,,left( 1 ight) hfill cr} ight. cr} )

Hai nhánh của ((H)) nằm về hai bên của tiệm cận đứng (x =  - {1 over 2})

Điểm (A(-1;1)) thuộc nhánh trái của ((H)) vì ({x_A} =  - 1 <  - {1 over 2})

Đường thẳng cắt ((H)) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh khi và chỉ khi (1) có nghiệm (x <  - {1 over 2}) và (x e  - 1) tức

(left{ matrix{
x e 0 hfill cr
x = {{ - m + 3} over 2} < - {1 over 2} hfill cr
fleft( { - 1} ight) e 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
m e 0 hfill cr
{3 over {2m}} < 0 hfill cr
- m - 3 e 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow m < - 3,, ext{hoặc}, - 3 < m < 0.)

soanbailop6.com