Bài 6 trang 58 sgk đại số và giải tích 11

Bài 6 trang 58 sgk đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng:

Bài 6. Chứng minh rằng:
a) (11^{10} – 1) chia hết cho (100);

b) (101^{100}– 1) chia hết cho (10 000);

c) (sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- sqrt{10})}^{100}]) là một số nguyên.

Bài giải:

a) ({11^{10}} - 1 = {left( {1 + 10} ight)^{10}} - 1 = (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{.10^2})

(+ ... + C_{10}^9{.10^9} + {10^{10}}) - 1)

            (= { m{ }}{10^2} + { m{ }}{C^2}_{10}{10^2} +  ldots  + { m{ }}{C^9}_{10}{10^9} + { m{ }}{10^{10}})

Tổng sau cùng chia hết cho (100) suy ra (11^{10} – 1) chia hết cho (100).

b) Ta có

({101^{100}}-1{ m{ }} = { m{ }}{left( {1{ m{ }} + { m{ }}100} ight)^{100}} - { m{ }}1)

                  (= (1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + ... + )

                  (C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) - 1)

                     ( = {100^2} + C_{100}^2{.100^2} + ... + C_{100}^{99}{.100^{99}} + {100^{100}})

Tổng sau cùng chia hết cho (10 000) suy ra (101^{100}– 1) chia hết cho (10 000).

c) ({(1 + sqrt {10} )^{100}} = 1 - C_{100}^1sqrt {10}  + C_{100}^2{left( {sqrt {10} } ight)^2} - ... )

(- C_{100}^{99}{left( {sqrt {10} } ight)^{99}} + {left( {sqrt {10} } ight)^{100}})

(= 1 - C_{100}^1sqrt {10}  + C_{100}^2{left( {sqrt {10} } ight)^2} - ... - C_{100}^{99}{left( {sqrt {10} } ight)^{99}})

(+ {left( {sqrt {10} } ight)^{100}})

(sqrt {10} left[ {{{left( {1 + sqrt {10} } ight)}^{100}} - {{left( {1 - sqrt {10} } ight)}^{100}}} ight])=

( 2sqrt {10} .left[ {C_{100}^1sqrt {10}  + C_{100}^3{{left( {sqrt {10} } ight)}^3} + ..+ C_{100}^{99}{{left( {sqrt {10} } ight)}^{99}}} ight])

(= 2left( {C_{100}^1.10 + C_{100}^3{{.10}^2} + ... + C_{100}^{99}{{.10}^{50}}} ight))

Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra (sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- sqrt{10})}^{100}]) là một số nguyên.

soanbailop6.com