Bài 5 trang 30 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng

a) (y =  - 2x + 3) trên R

b) (y = {x^2} + 10x + 9) trên (( - 5; + infty ))

c) (y =  - {1 over {x + 1}}) trên (-3; -2) và (2; 3).

Gợi ý làm bài

a) (forall {x_1},{x_2} in R) ta có:

(f({x_1}) - f({x_2}) =  - 2{x_1} + 3 - ( - 2{x_2} + 3) =  - 2({x_1} - {x_2}))

Ta thấy ({x_1} > {x_2}) thì (2({x_1} - {x_2}) < 0) tức là:

(f({x_1}) - f({x_2}) < 0 Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2}))

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên R.

b) (forall {x_1},{x_2} in R), ta có

(f({x_1}) - f({x_2}) = x_1^2 + 10{x_1} + 9 - x_2^2 - 10{x_2} - 9)

= (({x_1} - {x_2})({x_1} + {x_2}) + 10({x_1} - {x_2}))

= (({x_1} - {x_2})({x_1} + {x_2} + 10)) (*)

(forall {x_1},{x_2} in ( - 5; + infty )) và ({x_1} < {x_2}) ta có ({x_1} - {x_2} < 0) và ({x_1} + {x_2} + 10 > 0) vì 

({x_1} >  - 5;{x_2} >  - 5 =  > {x_1} + {x_2} >  - 10)

Vậy từ (*) suy ra (f({x_1}) - f({x_2}) < 0 Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2}))

Hàm số đồng biến trên khoảng (( - 5; + infty ))

c) (forall {x_1},{x_2} in ( - 3; - 2)) và ({x_1} < {x_2}), ta có

({x_1} - {x_2} < 0;{x_1} + 1 <  - 2 + 1 < 0;{x_2} + 1 <  - 2 + 1 < 0 =  > ({x_1} + 1)({x_2} + 1) > 0). Vậy

(f({x_1}) - f({x_2}) =  - {1 over {{x_1} + 1}} + {1 over {{x_2} + 1}} = {{{x_1} - {x_2}} over {({x_1} + 1)({x_2} + 1)}} < 0 Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2}))

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-3; -2) 

(forall {x_1},{x_2} in ( - 3; - 2)) và ({x_1} < {x_2}) , tương tự ta cũng có (f({x_1}) < f({x_2}))

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (2;3).

Sachbaitap.net