Bài 4 trang 85 giải tích 12: Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit...

Bài 4. Giải các phương trình lôgarit:

a)  ({1 over 2}log left( {{x^2} + x – 5} ight) = log 5{ m{x}} + log {1 over {5{ m{x}}}})

b)  ({1 over 2}log left( {{x^2} – 4{ m{x}} – 1} ight) = log 8{ m{x}} – log 4{ m{x}})

c)  ({log _{sqrt 2 }}x + 4{log _{4{ m{x}}}}x + {log _8}x = 13)

Giải

a)  ({1 over 2}log left( {{x^2} + x – 5} ight) = log 5{ m{x}} + log {1 over {5{ m{x}}}})

(Leftrightarrow left{ matrix{
5{ m{x}} > 0 hfill cr
{1 over 2}log left( {{x^2} + x – 5} ight)  = log 5{ m{x}} – log 5{ m{x}}hfill cr} ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix{
x > 0 hfill cr
{1 over 2}log left( {{x^2} + x – 5} ight) = 0 hfill cr} ight.)

(Leftrightarrowleft{ matrix{
x > 0 hfill cr
log left( {{x^2} + x – 5} ight) = 0 hfill cr} ight.)

(Leftrightarrowleft{ matrix{
x > 0 hfill cr
{x^2} + x – 5 = 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x > 0 hfill cr
{x^2} + x – 6 = 0 hfill cr} ight. )

(Leftrightarrow left{ matrix{
x > 0 hfill cr
x = – 3;x = 2 hfill cr} ight. Leftrightarrow x = 2) 

Vậy nghiệm của phương trình là (x = 2)

b)  ({1 over 2}log left( {{x^2} – 4{ m{x}} – 1} ight) = log 8{ m{x}} – log 4{ m{x}})

(Leftrightarrowleft{ matrix{
4{ m{x > 0}} hfill cr
{{ m{x}}^2} – 4{ m{x}} – 1 > 0 hfill cr
{1 over 2}log left( {{x^2} – 4{ m{x}} – 1} ight) = log {{8{ m{x}}} over {4{ m{x}}}} hfill cr} ight.)

(Leftrightarrowleft{ matrix{
x > 0 hfill cr
{{ m{x}}^2} – 4{ m{x}} – 1 > 0 hfill cr
{1 over 2}log left( {{x^2} – 4{ m{x}} – 1} ight) = log 2 hfill cr} ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix{
x > 0 hfill cr
left[ matrix{
x > 2 + sqrt 5 hfill cr
x < 2 – sqrt 5 hfill cr} ight. hfill cr
log left( {{x^2} – 4{ m{x}} – 1} ight) = 2log 2 hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow left{ matrix{
x > 2 + sqrt 5 hfill cr
log left( {{x^2} – 4{ m{x}} – 1} ight) = log {2^2} = log 4 hfill cr} ight.)

(Leftrightarrowleft{ matrix{
x > 2 + sqrt 5 hfill cr
{x^2} – 4{ m{x}} – 1 = 4 hfill cr} ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix{
x > 2 + sqrt 5 hfill cr
{x^2} – 4{ m{x}} – 5 = 0 hfill cr} ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix{
x > 2 + sqrt 5 hfill cr
x = – 1;x = 5 hfill cr} ight. Leftrightarrow x = 5)

Vậy nghiệm của phương trình là (x = 5)

c)  ({log _{sqrt 2 }}x + 4{log _{4}}x + {log _8}x = 13)

(Leftrightarrow {log _{{2^{{1 over 2}}}}}x + 4{log _{{2^2}}}x + {log _{{2^3}}}x = 13)

(Leftrightarrow 2{log _2}x + 2{log _2}x + {1 over 3}{log _2}x = 13)

 (Leftrightarrow {{13} over 3}{log _2}x = 13 Leftrightarrow {log _2}x = 3 Leftrightarrow x = {2^3} = 8)

Vậy phương trình có nghiệm là (x = 8)