Bài 4 trang 50 SGK Hình học 12

Bài 4 trang 50 SGK Hình học 12

Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh SA, SB, SC và tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Bài 4. Hình chóp (S.ABC) có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh (SA, SB, SC) và tiếp xúc với ba cạnh (AB, BC, CA) tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Giải

Gọi (M, N, P) theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh (SA, SB, SC); (D, E, F) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh (AB, BC, CA), các điểm (D, E, F) đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh (AB, BC, CA).

Ta có:      (AD = AF  Rightarrow AB = AC)

                (BD = BE Rightarrow  BC = AB)

( Rightarrow  AB = BC = CA)

( Rightarrow  △ABC) là tam giác đều...                      (1)

Ta lại có (AM = AD; BN = BD = AD)

và            (SM = SN = SP)

           ( Rightarrow  SM + AM = SN + NB)

           ( Rightarrow  SA = SB)

Chứng minh tương tự ta có: (SA = SB = SC).

Gọi (H) là chân đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh (S), ta có:

(△SHA = △SHB =△SHC)( Rightarrow  HA = HB = HC)

( Rightarrow H) là tâm của tam giác đều (ABC)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra hình chóp (S.ABC) là hình chóp tam giác đều.

soanbailop6.com