Bài 32 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao

Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.

Bài 32. Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.

Hướng dẫn trả lời

 

Gọi (I) là giao điểm của hai đường chéo (AC, BD) và (widehat {AIB} = alpha ).

Ta có ({S_{ABI}} = {1 over 2}AI.BI.sin alpha ,,,,,,{S_{ADI}} = {1 over 2}AI.DI.sin ({180^0} - alpha ) = ,{1 over 2}AI.DI.sin alpha ,)

Suy ra ({S_{ABD}} = {S_{ABI}} + {S_{ADI}} = {1 over 2}AI.(BI + DI).sin alpha  = {1 over 2}AI.BD.sin alpha )

Tương tự ta suy ra ({S_{BCD}} = {S_{BIC}} + {S_{CDI}} = {1 over 2}CI.BD.sin alpha )

Từ đó suy ra

({S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}} = {1 over 2}.BD.(AI + CI).sin alpha  = {1 over 2}.BD.AC.sin alpha. )

zaidap.com