Bài 21 trang 23 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao, Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a. Hãy dựng các vec tơ sau đây và tính độ dài của...

Bài 21. Cho tam giác vuông cân (OAB) với (OA = OB = a). Hãy dựng các vec tơ sau đây và tính độ dài của chúng

(eqalign{
& overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} ;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;;;overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} ;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3overrightarrow {OA} + 4overrightarrow {OB} ; cr
& {{21} over 4}overrightarrow {OA} + 2,5overrightarrow {OB} ;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{{11} over 4}overrightarrow {OA} – {3 over 7}overrightarrow {OB} . cr} )

Hướng dẫn trả lời

Vẽ hình vuông (OACB), ta có

(eqalign{
& overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} = overrightarrow {OC} , Rightarrow left| {overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} } ight| = left| {overrightarrow {OC} } ight| = asqrt 2 cr
& overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} = overrightarrow {BA} , Rightarrow left| {overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} } ight| = left| {overrightarrow {BA} } ight| = asqrt 2 cr} )

Gọi (M, N) là điểm thỏa mãn (overrightarrow {OM}  = 3overrightarrow {OA} ,,overrightarrow {ON}  = 4overrightarrow {OB} ).

Vẽ hình chữ nhật (MONP), ta có

(eqalign{
& overrightarrow {OM} + overrightarrow {ON} = overrightarrow {OP} , Rightarrow left| {overrightarrow {OM} + overrightarrow {ON} } ight| = left| {overrightarrow {OP} } ight| cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = sqrt {O{M^2} + O{N^2}} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = sqrt {9{a^2} + 16{a^2}} = 5a cr
& cr} )

Tương tự, ta cũng có

(eqalign{
& left| {{{21} over 4}overrightarrow {OA} + 2,5overrightarrow {OB} } ight| = sqrt {{{left( {{{21} over 4}a} ight)}^2} + {{left( {{5 over 2}a} ight)}^2}} = {{sqrt {541} } over 4}a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, cr} )

Gọi (I, J) là điểm thỏa mãn

 (overrightarrow {OI}  = {{11} over 4}overrightarrow {OA} ,,overrightarrow {OJ}  =  – {3 over 7}overrightarrow {OB} )

Vẽ hình chữ nhật (OIKJ), ta có

(eqalign{
& {{11} over 4}overrightarrow {OA} – {3 over 7}overrightarrow {OB} = overrightarrow {OK} = {{11} over 4}overrightarrow {OA} + left( { – {3 over 7}overrightarrow {OB} } ight) = overrightarrow {OI} + overrightarrow {OJ} = overrightarrow {OK} cr
& Rightarrow ,left| {{{11} over 4}overrightarrow {OA} – {3 over 7}overrightarrow {OB} } ight| = left| {overrightarrow {OK} } ight| = sqrt {{{left( {{{11} over 4}a} ight)}^2} + {{left( { – {3 over 7}a} ight)}^2}} = {{sqrt {6073} } over {28}}a cr} )