Bài 20 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1

Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bài 20 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng: BD² + CE² + AF² = DC² + EA² + FB²

Lời giải:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BDM, ta có:

BM² = BD² + DM² => BD² = BM² – DM²    (1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CEM, ta có:

CM² = CE² + EN² => CE² = CM² – EM²    (2)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AFM, ta có:

AM² = AF² + FM² => AF² = AM² – FM²    (3)

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

BD² + CE² + AF² = BM² – DM² + CM² – EM² + AM² – FM² (4)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BFM, ta có:

BM² = BF² + FM²     (5)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CDM, ta có:

CM² = CD² + DM²     (6)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AEM, ta có:

AM² = AE² + EM²     (7)

Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:

BD² + CE² + AF²

= BF² + FM² – DM² + CD² + DM² – EM² + AE² + EM² – FM²

= DC² + EA² + FB²

Vậy BD² + CE² + AF² = DC² + EA² + FB².

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 9 (SBT Toán 9)