Bài 2 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao, Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC...

Bài 2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (S.ABC), biết (SA = SB = SC = a), (widehat {ASB} = {60^0},widehat {BSC} = {90^0},widehat {CSA} = {120^0}).

Giải

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác (SAB, SAC) ta có:

(eqalign{
& A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} – 2SA.SB.cos {60^0} cr
& = {a^2} + {a^2} – 2{a^2}.{1 over 2} = {a^2} Rightarrow AB = a cr
& A{C^2} = S{A^2} + S{C^2} – 2SA.SC.cos {120^0} cr
& = {a^2} + {a^2} – 2{a^2}left( { – {1 over 2}} ight) = 3{a^2} Rightarrow AC = asqrt 3 cr} )

Trong tam giác vuông (SBC) có: (B{C^2} = S{B^2} + S{C^2} = 2{a^2} Rightarrow BC = asqrt 2 )

Ta có: (A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} Rightarrow Delta ABC) vuông tại (B).

Gọi (H) là trung điểm của (AC) thì (H) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì (SA = SB = SC) nên (SH ot mpleft( {ABC} ight))

Và (S{H^2} = S{C^2} – H{C^2} = {a^2} – {left( {{{asqrt 3 } over 2}} ight)^2} = {{{a^2}} over 4} Rightarrow SH = {a over 2})

Gọi (O) là điểm đối xứng của (S) qua (H) thì (SO = OA = OB = OC = a) nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (S.ABC) có tâm (O) và bán kính (R = a).