Bài 2 trang 12 sgk hình học 12

Bài 2 trang 12 sgk hình học 12

2. Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó là một số chẵn. Cho ví dụ.

Bài 2. Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó là một số chẵn. Cho ví dụ.

Lời Giải :

Giả sử đa diện ((H)) có các đỉnh là (A_1, … A_d) gọi (m_1, … m_d) lần lượt là số các mặt của ((H)) nhận chúng là đỉnh chung. Như vậy mỗi đỉnh (A_k) có (mk) cạnh đi qua. Do mỗi cạnh của ((H)) là cạnh chung của đúng hai mặt nên tổng số các cạnh của (H) bằng

 (c = {1 over 2}({m_1} + {m_2} + ... + {m_d}))      

Vì (c) là số nguyên, (m_1, … m_d) là những số lẻ nên (d) phải là số chẵn. Ví dụ : Số đỉnh của hình chóp ngũ giác bằng sáu.

soanbailop6.com