Bài 10 trang 100 SGK Hình học 12: Tìm toạ độ giao điểm A của d và (α)...

Bài 10. Trong không gian (Oxyz) cho đường thẳng (d):

(left{ matrix{
x = 1 – 2t hfill cr
y = 2 + t hfill cr
z = 3 – t hfill cr} ight.)và mặt phẳng ((α) : 2x + y + z = 0).

a) Tìm toạ độ giao điểm (A) của (d) và ((α)).

b) Viết phương trình mặt phẳng ((β)) qua (A) và vuông góc với ( d).

Giải

Thay các biểu thức theo (t) của (x, y, z) trong phương trình tham số của ((d)) vào phương trình của mặt phẳng ((α)), ta có:

(2(1 – 2t) + (2 + t) + (3 – t) = 0 Rightarrow t = {7 over 4})

Từ đây, ta có toạ độ giao điểm (A) của ((d)) và ((α))

(left{ matrix{
x = 1 – 2.{7 over 4} = – {{10} over 4} hfill cr
y = 2 + {7 over 4} = {{15} over 4} hfill cr
z = 3 – {7 over 4} = {5 over 4} hfill cr} ight.)( Rightarrow Aleft( { – {{10} over 4};{{15} over 4};{5 over 4}} ight))

b) Đường thẳng ((d)) có vectơ chỉ phương (overrightarrow a  = (-2; 1; -1)). Mặt phẳng ((β)) vuông góc với ((d)), nhận (overrightarrow a ) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình của ((β)) là:

( – 2left( {x + {{10} over 4}} ight) + 1.left( {y – {{15} over 4}} ight) – 1.left( {z – {5 over 4}} ight) = 0)

( Leftrightarrow 4x – 2y + 2z + 15 = 0)