Bài 1.23 trang 35 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Hãy viết phương trình của đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình (2x + y - 4 = 0).

a)  Hãy viết phương trình của đường thẳng d₁  là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3

b) Hãy viết phương trình của đường thẳng d₂ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = -2

Giải:

a)  Lấy hai điểm (Aleft( {0;4} ight)) và (Bleft( {2;0} ight)) thuộc d. Gọi (A',B') theo thứ tự là ảnh của A và B qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3. Khi đó ta có

(overrightarrow {OA'}  = 3overrightarrow {OA} ,overrightarrow {OB'}  = 3overrightarrow {OB} ).

Vì (overrightarrow {OA}  = left( {0;4} ight)) nên (overrightarrow {OA'}  = left( {0;12} ight)). Do đó (A' = left( {0;12} ight)). Tương tự (B' = left( {6;0} ight)); (d_1) chính là đường thẳng A'B' nên nó có phương trình

({{x - 6} over { - 6}} = {y over {12}}) hay (2{ m{x}} + y - 12 = 0).

b)  Có thể giải tương tự như câu a) . Sau đây ta sẽ giải bằng cách khác.

Vì ({d_2}parallel d) nên phương trình của (d_2) có dạng (2{ m{x}} + y + C = 0): . Gọi (A' = left( {x';y'} ight)) là ảnh của A qua phép vị tự đó thì ta có:

(overrightarrow {IA'}  =  - 2overrightarrow {IA} ) hay (x' + 1 =  - 2,y' - 2 =  - 4)

Suy ra (x' =  - 3,y' =  - 2)

Do A' thuộc (d_2) nên (2.left( { - 3} ight) - 2 + C = 0). Từ đó suy ra C = 8

Phương trình của (d_2) là (2{ m{x}} + y + 8 = 0)