10 dạng tích phân thường gặp trong thi Đại học

10 dạng tích phân thường gặp trong thi Đại học

Bài tập về tích phân là một phần không thể thiếu trong đề thi môn Toán ở các kì hi quan trọng như học sinh giỏi, thi tốt nghiệp, thi đại học. Tài liệu 10 dạng tích phân hay gặp trong các kỳ thi Đại học - Cao đẳng sau đây sẽ giúp các bạn biết được những dạng đề thích phân thường hay được ra để từ đó nắm chắc kiến thức hơn về lĩnh vực này. Chúc các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán hiệu quả.

Trắc nghiệm trực tuyến: Bài tập trắc nghiệm về Nguyên hàm - Tích phân

Ôn thi Đại học môn Toán - Chuyên đề: Tích phân

10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Trong các kì thi Đại Học – Cao Đẳng câu tích phân luôn mặc định xuất hiện trong đề thi môn Toán. Tích phân không phải là câu hỏi khó, đây là một bài toán “nhẹ nhàng”, mang tính chất “cho điểm”. Vì vậy việc mất điểm sẽ trở nên “vô duyên” với những ai đã bỏ chút thời gian đọc tài liệu.

Ở tài liệu nhỏ này sẽ cung cấp tới các em các dạng tích phân thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Đại Học - Cao Đẳng (và đề thi cũng sẽ không nằm ngoài các dạng này). Với cách giải tổng quát cho các dạng, các ví dụ minh họa đi kèm, cùng với lượng bài tập đa dạng, phong phú. Mong rằng sau khi đọc tài liệu, việc đứng trước một bài toán tích phân sẽ không còn là rào cản đối với các em. Chúc các em thành công!

Tài liệu gồm các phần sau:

1. Sơ đồ chung giải bài toàn tích phân.

2. Các công thức nguyên hàm cần nhớ.

3. Lớp tích phân hữu tỉ và tích phân lượng giác cơ bản.

4. 10 dạng tích phân trong các đề thi Đại học - cao đẳng.

5. Ứng dụng tích phân.

6. Các lớp tích phân đặc biệt và tích phân truy hồi.

7. Dùng tích phân để chứng minh bất đẳng thức chứa C^k_n.

8. Kinh nghiệm giải bài toán tích phân Đại học.

I. SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN

II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ

Điều kiện tiên quyết để làm tốt phần tích phân là chúng ta phải nhớ và hiểu được cách vận dụng các công thức nguyên hàm sau: (chỉ cần hiểu 8 công thức thì sẽ biết cách suy luận ra các công thức còn lại)

III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

1. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ

Chú thích: Sơ đồ trên được hiểu như sau:

Khi đứng trước một bài toán tích phân có dạng hữu tỉ trước tiên ta quan tâm tới bậc của tử số và mẫu số.

• Nếu bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số, khi đó ta chú ý tới bậc dưới mẫu số. Cụ thể:
• Nếu bậc dưới mẫu số bằng 1 ta có luôn công thức trong bảng nguyên hàm và đưa ra được đáp số.
• Nếu bậc dưới mẫu số bằng 2 ta quan tâm tới Δ hay "tính có nghiệm" của phương trình dưới mẫu.
• Nếu Δ > 0 tức khi đó ta sẽ phân tích dưới mẫu thành tích và dùng kĩ thuật tách ghép để tách thành hai biểu thức có mẫu bậc 1 (quay về trường hợp mẫu số có bậc bằng 1).
• Nếu Δ = 0 tức khi đó ta sẽ phân tích dưới mẫu thành hằng đẳng thức và dùng kĩ thuật tách ghép để đưa tích phân về dạng đã biết.
• Nếu Δ < 0 tức khi đó ta không thể phân tích dưới mẫu số thành tích và hằng đẳng thức được.
• Nếu trên tử là hằng số khác 0 ta sẽ dùng phương pháp lượng giác hóa để chuyển về dạng cơ bản (theo cách đổi biến ở sơ đồ trên).
• Nếu trên tử có dạng bậc nhất ta sẽ chuyển về bậc 0 ( hằng số hay số tự do) bằng kĩ thuật vi phân như cách trình bày ở sơ đồ và quay về trường hợp trước đó (tử là hằng số khác 0).
• Nếu bậc của mẫu số lớn hơn 2 ta sẽ tìm cách giảm bậc bằng phương pháp đổi biến hoặc các kĩ thuật: Nhân, chia, tách ghép (đồng nhất hệ số), vi phân...
• Nếu bậc của tử số lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu số thì ta chuyển sang TH2 (trường hợp 2).