Lý thuyết phương pháp quy nạp toán học

Lý thuyết phương pháp quy nạp toán học

1. Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n ε N*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:

1. Để chứng minh một mệnh đề (P(n)) là đúng với mọi (n in mathbb{N^*}), ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:

Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề (P(n)) đúng với (n = 1).

Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề (P(n)) đúng với một số tự nhiên bất kì (n = k, (k ≥ 1)) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với (n = k + 1).

Khi đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận mệnh đề (P(n)) đùng với mọi (n in mathbb{N^*}).  

2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề (P(n)) đúng với mọi số tự nhiên (n ≥ p) ((p) là số tự nhiên) thì:

- Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề (P(n)) đúng với (n = p).

Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề (P(n)) đúng với một số tự nhiên bất kì (n = k, (k ≥ p)) và chứng minh rằng nó cũng đúng với (n = k + 1).

3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên tuy không phải là chứng minh nhưng cho phép ta dự đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giá thuyết và để chứng minh ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học.

Một số bài toán thường gặp

- Chứng minh các mệnh đề toán học liên quan đến lập luận lôgic.

- Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức.

- Dự đoán kết quả và chứng minh.