Giải Toán lớp 11 Ôn tập cuối năm

Giải Toán lớp 11 Ôn tập cuối năm

Bài 1 (trang 178 SGK Đại số 11): Nêu định nghĩa các hàm số lượng giác. Chỉ rõ tập xác định và tập giá trị của từng hàm số đó.

Lời giải:

a. Định nghĩa 1: Hàm số sin:

sin: R -> R

x -> y = sinx.

Hàm số y = sinx có tập xác định là R, tập giá trị là đoạn [-1;1].

b.Định nghĩa 2: Hàm số cosin:

cos: R -> R

x -> y = cosx.

Hàm số y = cosx có tập xác định là R, tập giá trị là đoạn [-1;1]

c. Định nghĩa 3: Hàm số tang:

tan: D -> R

x -> y = tanx.

Hàm số y = tanx có tập xác định

Tập giá trị của hàm số y = tanx là R.

d. Định nghĩa 4: Hàm số cotang:

cot: D -> R

x -> y = cotx.

Hàm số y = cotx có tập xác định D = {x ∈ R x ≠ kπ, k ∈ Z}. Tập giá trị của hàm số y = coty là tập R.

Bài 2 (trang 178 SGK Đại số 11): Cho biết chu kì của mỗi hàm số y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.

Lời giải:

a. Hàm số y = sinx và y = cosx là hàm số tuần hoàn có chu kì là 2 π.

b. Hàm số y = tanx và y = cotx là các hàm số tuần hoàn có chu kì là π.

Bài 1 (trang 178 SGK Đại số 11): Nêu định nghĩa các hàm số lượng giác. Chỉ rõ tập xác định và tập giá trị của từng hàm số đó.

Lời giải:

a. Định nghĩa 1: Hàm số sin:

sin: R -> R

x -> y = sinx.

Hàm số y = sinx có tập xác định là R, tập giá trị là đoạn [-1;1].

b.Định nghĩa 2: Hàm số cosin:

cos: R -> R

x -> y = cosx.

Hàm số y = cosx có tập xác định là R, tập giá trị là đoạn [-1;1]

c. Định nghĩa 3: Hàm số tang:

tan: D -> R

x -> y = tanx.

Hàm số y = tanx có tập xác định

Tập giá trị của hàm số y = tanx là R.

d. Định nghĩa 4: Hàm số cotang:

cot: D -> R

x -> y = cotx.

Hàm số y = cotx có tập xác định D = {x ∈ R x ≠ kπ, k ∈ Z}. Tập giá trị của hàm số y = coty là tập R.

Bài 2 (trang 178 SGK Đại số 11): Cho biết chu kì của mỗi hàm số y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.

Lời giải:

a. Hàm số y = sinx và y = cosx là hàm số tuần hoàn có chu kì là 2 π.

b. Hàm số y = tanx và y = cotx là các hàm số tuần hoàn có chu kì là π.

Bài 3 (trang 178 SGK Đại số 11): Nêu cách giải phương trình lượng giác cơ bản, cách giải phương trình asinx + bcosx = c.

Lời giải:

Bài 4 (trang 178 SGK Đại số 11): Viết công thức tính số hoán vị của tập hợp gồm n phần tử (n > 1). Nêu ví dụ.

Lời giải:

Kí hiệu P_n là các số hoán vị của tập hợp gồm phần tử (n > 1) và P_n được xác định: P_n=1.2….n hay P_n=n!

Ví dụ: Tính số các hoán vị của tập A = {a, b, c, d}.

Giải

Tập A có 4 phần tử, do đó số hoán vị của tập A là P₄=24.

Bài 5 (trang 178 SGK Đại số 11): Viết công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử, công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử. Cho ví dụ.

Lời giải:

 

Ví dụ: Một lớp học gồm 50 học sinh. Cần lập một đoàn đại biểu đi dự đại hội đoàn trường gồm 3 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách lập.

Giải: Rõ ràng một nhóm 3 học sinh chính là một tổ hợp chập 3 của 50. Do đó số cách lập đoàn đại biểu là: C₅₀³=19600 (cách).

Bài 6 (trang 178 SGK Đại số 11): Viết công thức nhị thức Niutơn.

Lời giải:

Công thức nhị thức Niutơn:

(a+b)²=C_n⁰ aⁿ+C_n¹ b+⋯+C_N^k a^(n-k) b^k+⋯+C_n^(n-1) ab^(n-1)+C_nⁿ bⁿ.

Chú ý: số hạng T_(k+1) =C_n^k a^(n-k)b^k được gọi là số hạng tổng quát của khái triển (a+b)ⁿ.

Bài 7 (trang 178 SGK Đại số 11): Phát biểu định nghĩa xác suất của biến cố.

Lời giải:

Bài 8 (trang 178 SGK Đại số 11): Nêu rõ các bước chứng minh bằng quy nạp toán học và cho ví dụ

Lời giải:

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈N ∗ là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì ta làm như sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1.

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n=k ≥1.

( gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1.

Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với n ∈N ∗.

Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi n ∈N ∗ ta có:n³+5n chia hết cho 6.

Chứng minh: Đặt P(n) = n³+5n.

Với n =1 => P(1) = 6 ⋮ 6

Giả sử (P_n) chia hết cho 6 đúng với n=k ≥1, nghĩa là, ta có:

P(k)=(k³+5k)⋮6.

Ta có: P(k+1)=(k+1)³+5(k+1)=k³+3k²+3k+1+5k+5

=k³+5k+3(k²+k)+6

Mặt khác, theo giả thiết quy nạp ta có: k³+5k)⋮6.

Hơn nữa k²+k=k(k+1):2 ( hai số tự nhiên tiếp k, k +1 phải có một số chẵn do k(k+1):2).

Do vậy P(k+1)⋮6. Tức mệnh đề đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp, ta có P(n) = n³+5n chia hết cho 6 với mọi n ∈N ∗.

Bài 9 (trang 178 SGK Đại số 11): Phát biểu định nghĩa cấp số cộng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một số không đổi d.

Lời giải:

Định nghĩa: cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Ta có: U_(n+1) =U_n+d, ∀n ∈N ∗

Cho cấp số cộng (U_n) công sai d. đặt S_n=U₁+U₂+..+U_n

Khi đó:

Bài 10 (trang 178 SGK Đại số 11): Phát biểu định nghĩa cấp số nhân và công thức tổng n số hạng đầu tiên của một cập số nhân.

Lời giải:

Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó từ số hạng thứ hai; mỗi số hạng đều là tích các số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Ta có: U⁽ⁿ⁺¹⁾=Uⁿ.q,∀n ∈N ∗.

Cho cấp số nhân (U_n ),công bội q. đặt S_n=U₁+U₂+..+U_n

Khi đó:

Bài 11 (trang 178 SGK Đại số 11): Dãy số U_n thỏa mãn điều kiện gì thì được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực?

Lời giải:

Bài 12 (trang 178 SGK Đại số 11): Viết công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải:

Bài 13 (trang 178 SGK Đại số 11): Định nghĩa hàm số có giới hạn + ∞ khi x -> – ∞

Lời giải:

Bài 14 (trang 178 SGK Đại số 11): Nêu các giới hạn đặc biệt của dãy số.

Lời giải:

Bài 15 (trang 178 SGK Đại số 11): Nêu định nghĩa hàm liên túc tại một điểm, trên một khoảng. Nêu hình ảnh hình học của một hàm số liên tục trên một khoảng.

Lời giải:

Đồ thị hàm số liên tục trên khoảng (a; b)

Đồ thị hàm số gián đoạn tại x_o ∈(a; b)

Bài 16 (trang 178 SGK Đại số 11): Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số y=f(x)tại x=x_o.

Lời giải:

Bài 17 (trang 178 SGK Đại số 11): Viết tất cả các quy tắc tính đạo hàm đã học

Lời giải:

Bài 18 (trang 178 SGK Đại số 11): Giả sử hàm số g = f(x) có đạo hàm tại x_o. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g = f(x) có đạo hàm tại x_o. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g = f(x) tại M_o (x_o;f(x_o )).

Lời giải:

Phương trình tiếp tuyến hàm số y = f(x) tại điểm M_o (x_o;f(x_o )) có dạng: y=y_o-f^'(x_o)(x-x_o), trong đó y_o=f(x_o).

---

---

Bài 1 (trang 178 SGK Đại số 11 Bài tập ): Cho hàm số y = cos2x.

Lời giải:

Hình ảnh minh họa

Bài 2 (trang 179 SGK Đại số 11):

Lời giải:

Bài 3 (trang 179 SGK Đại số 11): Giải các phương trình:

Lời giải:

Bài 4 (trang 179 SGK Đại số 11): Trong một bệnh viện có 40 bác sĩ ngoại khoa. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ca mổ, nếu mỗi ca gồm:

a) Một bác sĩ mổ và một bác sĩ phụ?

b) Một bác sĩ mổ và bốn bác sĩ phụ?

Lời giải:

Có 40 cách chọn một bác sĩ mổ, ứng với mỗi cách chọn bác sĩ mổ có 39 cách chọn một bác sĩ phụ. Theo quy tắc nhân có tất cả là:

40.39 = 1560 ( cách) phân bố ca mổ.

b) Có 40 bác sĩ mổ, ứng với mỗi cách chọn một bác sĩ mổ còn lại 29 bác sĩ ta cần chọn 4 bác sĩ phù, số cách chọn 4 bác sĩ phụ chính là các tổ hợp chập 4 của 39. Do đó, theo quy tắc nhân có tổng cộng:

40. C₃₉⁴=3290040 cách.

Bài 5 (trang 179 SGK Đại số 11): Tìm số hạng không chứa trong khai triển của nhị thức:

 

Lời giải:

Bài 6 (trang 179 SGK Đại số 11): Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ một tổ gồm có 6 nam và 4 nữ. Tính xác xuất sao cho:

a) Cả 3 học sinh đều là nam.

b) Có ít nhất một nam.

Lời giải:

Bài 7 (trang 179 SGK Đại số 11): Một tiểu đội có 10 người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh A và anh B. Tính xác xuất sao cho:

a) A và B đứng liền nhau;

b) Trong hai người đó có một người đứng ở vị trí số 1 và một người kia đứng ở vị trí cuối cùng.

Lời giải:

Mỗi một cách xếp 10 người thành hàng dọc chính là một phần tử của không gian mẫu. Do đó n(Ω)=10!=3628800.

a) A và B đứng liền nhau khi và chỉ khi A và B chia nhau đứng ở hai vị trí: i và i+1 (i=1,2,..9). Ứng với mỗi giá trị i_o xác định i_o=1,2,3,…,9) có hai cách sắp xếp A, B vào các vị trí i_o và i_o+1. Do vậy có tất cả là: 9.2= 18 cách xếp cho A và B đứng liền nhau.Ứng mỗi cách xếp cho A và B đứng cạnh nhau có 8! Cách xếp hàng cho cả 10 người thỏa mãn A, B đứng cạnh nhau. Xác xuất của biến cố này là: P₁=2.9!/10! hay P₁=0,2.

b) Chỉ có đúng 2 cách xếp cho A, và B thỏa mãn yêu cầu bài toán đó là A ở vị trí 1, B ở vị trí 10 hoặc A ở vị trí 10, B ở vị trí 1. Ứng với mỗi cách xếp đó có 8! Cách xếp 10 người thỏa mãn yêu cầu bài toán, từ đây có P₂=2.8!/10!=1/45.

Bài 8 (trang 180 SGK Đại số 11): Tìm một cấp số cộng tăng, biết rằng tổng ba số hạng đầu của nó bằng 27 và tổng các bình phương của chúng bằng 275.

Lời giải:

Bài 9 (trang 180 SGK Đại số 11): Cho biết một cấp số nhân, hiệu của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 2 bằng 12 và nếu thêm 10 vào số hạng thứ nhất, thêm 8 vào số hạng thứ 2 còn giữa nguyên số hạng thứ 3 thì 3 bố mới lập thành một cấp số cộng. Hãy tính tổng hạng đầu của cáp số nhân đó.

Lời giải:

Bài 10 (trang 180 SGK Đại số 11): Tính các giới hạn:

Lời giải:

Bài 11 (trang 180 SGK Đại số 11):

Lời giải:

Bài 12 (trang 180 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng hàm số y=cosx không có giới hạn khi x→+ ∞.

Lời giải:

Bài 13 (trang 180 SGK Đại số 11): Tính các giới hạn sau:

Lời giải:

Bài 14 (trang 181 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm: sin x = x – 1.

Lời giải:

Bài 15 (trang 181 SGK Đại số 11): Phương trình sau có nghiệm hay không trong khoảng (-1; 3)? x⁴-3x³+x-1=0.

Lời giải:

Đặt f(x)= x⁴-3x³+x-1. Hiển nhiên f(x) liên tục trên R.

Ta có: f(0) = -1 < 0(1)

f(-1) = 1 – 3.(-1) – 1 – 1 = 2 >0 (2)

từ (1) và (2). Ta có: f(0).f(-1)<0=>f(x)=0 có nghiệm x_o ∈(-1;0).

Do đó phương trình đã cho có nghiệm x_o ∈(-1;3).

Bài 16 (trang 181 SGK Đại số 11): Giải các phương trình:

 

Lời giải:

Bài 17 (trang 181 SGK Đại số 11): Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Lời giải:

Bài 18 (trang 181 SGK Đại số 11): Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

Lời giải:

Bài 19 (trang 181 SGK Đại số 11):

Lời giải:

Bài 20 (trang 181 SGK Đại số 11): Cho hàm số f(x)=x³+bx²+cx+d,(C) g(x)=x²-3x+1

Với các số b, c, d tìm được ở bài 19, hãy:

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ x = -1.

b) Giải phương trình f^'(sinx) = 0.

Lời giải: