Giải bài 4 trang 125 SGK Hình học 11 nâng cao

Bài tập ôn cuối năm

Bài 4 (trang 125 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD; P là một điểm thay đổi trên đoạn thẳng AD.

a) Xác định giao điểm Q của mp(MNP) và cạnh AC. Tứ giác MNPQ là hình gì ?

b) Tìm quỹ tích giao điểm I của QM và PN.

c) Tìm quỹ tích giao điểm J của QN và PM.

Lời giải:

a) Kẻ đường thẳng qua P song song với CD cắt AC tại Q thì Q là giao điểm của AC và mp(MNP). Dễ thấy tứ giác MNPQ là hình thang (PQ // MN).

Chú ý : Nếu P ≡ A thì Q ≡ A; Nếu P ≡ D thì Q ≡ C.

b) Thuận : Giả sử I là giao điểm của QM và PN. Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng (ABC), (ABD), (MNPQ) thì điểm I thuộc đường thẳng AB.

Vì P thay đổi trên đoạn thẳng AD nên dễ thấy I chỉ nằm trên phần của đường thẳng AB trừ đi các điểm trong đoạn thẳng AB.

Đảo : Lấy 1 điểm I bất kì thuộc đường thẳng AB nhưng không nằm giữa A và B. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của IN với AD, của IM với AC. Khi đó rõ ràng mp(MNP) cắt AC tại Q và giao điểm của QM và PN là I.

Kết luận : Quỹ tích giao điểm I của QM và PN là đường thẳng AB trừ đi các điểm trong đoạn thẳng AB

c) Tương tự câu b), ta có quỹ tích giao điểm J của QN và QN và PM là đoạn thẳng AO(O là giao điểm của DM và CN).

Các bài giải bài tập Hình học 11 nâng cao Bài Ôn tập cuối năm