Giải bài 1,2,3 trang 23,24 SGK hình học 11: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng…

Đáp án và hướng dẫn Giải bài 1 trang 23; Bài 2,3 trang 24 SGK hình học 11: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau.

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Nghĩa là với hai điểm M, N tùy ý và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng, ta luôn có M’N’=MN

2. Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là những phép dời hình.

3. Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là một phép dời hình.

4. Phép dời hình có các tính chất:

a, Biến ba điểm thằng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy

b, Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn bằng nó

c, Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó

d, Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

5. Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường trọn nội tiếp, ngoại tiếp.. của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường trọng nội tiếp, ngoại tiếp… của tam giác A’B’C’.

6. Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Giải bài 1,2 trang 19 SGK hình học 11: Phép Quay

B. Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa hình học 11 trang 23,24: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau.

Bài 1 trang 23 SGK Hình học 11 – Chương 1

Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(-3;2), B(-4;5) và C(-1;3)

a) Chứng minh rằng các điểm A'(2;3), B'(5;4) và C'(3;1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép quay tâm O góc – 90⁰.

b) Gọi tam giác A₁B₁C₁ là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc -90⁰  và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A₁B₁C_1.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 1:

a)

Gọi r = OA, α là góc lượng giác (Ox, OA), β là góc lượng giác (Ox, OA’). Giả sử A’= ( x’; y’). Khi đó ta có:

β = α – 90⁰, x = r cos α, y = r sin α

Suy ra x’ = r cos β = r cos ( α – 90⁰) = r sinα = y

y’ = r sin β = r sin ( α – 90⁰) = – r cos α= – x

Do đó phép quay tâm O góc – 90⁰ biến A(-3;2) thành A'(2;3). Các trường hợp khác làm tương tự

b)

Gọi tam giác A₁B₁C₁
là ảnh của tam giác A’B’C’ qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó A₁(2;-3),B₁ (5;-4),C₁ (3;-1) là đáp số cần tìm.

Bài 2 trang 24 SGK Hình học 11 – Chương 1

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 2:

Gọi L là trung điểm của đoạn thẳng OF. Ta thấy phép đối xứng qua đường thẳng EH biến hình thang AEJK thành hình thang BELF, phép tịnh tiến theo vectơ BF biến hình thang BELF thành hình thang FOIC. Như vậy phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép biến hình trên, sẽ biến hình thang AEJK thành hình thang FOIC. Do đó hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.

Bài 3 trang 24 SGK Hình học 11 – Chương 1

Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm của tam giác A’B’C’

Đáp án và hướng dẫn giải bài 3:

Gọi phép dời hình đó là f. Do f biến các đoạn thẳng AB, AC tương ứng thành các đoạn thẳng A’B’, A’C’ nên nó cũng biến các trung điểm M, N của các đoạn thẳng AB, AC tương ứng theo thứ tự thành các trung điểm M’, N’ của các đoạn thẳng A’B’, A’C’. Vậy f biến các trung tuyến CM, BN của tam giác ABC tương ứng thành các trung tuyến C’M’, B’N’ của tam giác A’B’C’. Từ đó suy ra f biến trọng tâm G của tam giác ABC của CM và BN thành trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’ là giao của C’M’ và B’N’.

Giải bài 1,2,3 trang 29 SGK hình học 11: Phép vị tự