Câu 83 trang 90 Sách bài tập Toán 8 tập 1: Chứng minh rằng : a. EMFN là hình bình hành. b. Các đường thẳng...

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng :

a. EMFN là hình bình hành.

b. Các đường thẳng AC, EF, MN đồng quy.

Giải:                                                                    

Xét tứ giác AECF, ta có:

AB // CD (gt)

hay AE // CF

AE ( = {1 over 2})AB (gt)

CF (= {1 over 2})CD (gt)

AB = CD (tính chất hình bình hành)

Suy ra: AE = CF

Tứ giác AECF là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau) ⇒ AF // CE hay EN // FM (1)

Xét tứ giác BFDE ta có:

AB // CD (gt) hay BE // DF

BE ( = {1 over 2})AB (gt)

DF ( = {1 over 2})CD (gt)

AB = CD ( tính chất hình bình hành)

Suy ra: BE = DF

Tứ giác BFDE là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

⇒ BF // DE hay EM // FN (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EMFN là hình bình hành (theo định nghĩa)

b. Gọi O là giao điểm của AC và EF

Tứ giác AECF là hình bình hành ⇒ OE = OF

Tứ giác EMFN là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Suy ra: MN đi qua trung điểm O của EF

Vậy AC, EF, MN đồng quy tại O.