Câu 77 trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Cho hình hộp.

77. Trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Cho hình hộp (ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.)

a) Chứng minh rằng đường chéo ({B_1}D) cắt (mpleft( {{A_1}B{C_1}} ight)) tại điểm G sao cho ({B_1}G = {1 over 2}GD) và G là trọng tâm của tam giác ({A_1}B{C_1}.)

b) Chứng minh rằng (left( {{D_1}AC} ight)//left( {B{A_1}{C_1}} ight)) và trọng tâm G’ của tam giác ({D_1}AC) cũng nằm trên ({B_1}D) và ({B_1}G' = {2 over 3}{B_1}D.)

c) Gọi P, Q, R lần lượt là các điểm đối xứng của điểm ({B_1}) qua (A,,{D_1}) và C. Chứng minh rằng (left( {PQR} ight)//left( {B{A_1}{C_1}} ight)).

d) Chứng minh rằng D là trọng tâm tứ diện ({B_1}PQR.)

Giải

a) Gọi ({O_1}) là giao điểm của ({A_1}{C_1}) và ({B_1}{D_1}.) Khi đó (left( {{A_1}B{C_1}} ight) cap left( {B{ m{D}}{D_1}{B_1}} ight) = B{O_1}.)

Gọi G là giao điểm của ({B_1}D) và (B{O_1}) thì G chính là giao điểm của ({B_1}D) với (left( {{A_1}B{C_1}} ight).) Dễ thấy (Delta GBD sim Delta G{O_1}{B_1},) tỉ số đồng dạng là 2 (do ({{BD} over {{B_1}{O_1}}} = 2)).

Vậy ({B_1}G = {1 over 2}GD) và (G{O_1} = {1 over 2}GB,) suy ra G là trọng tâm tam giác ({A_1}B{C_1}.)

b) Dễ thấy

(AC//{A_1}{C_1},,{D_1}A//{C_1}B Rightarrow left( {{D_1}AC} ight)//left( {B{A_1}{C_1}} ight).)

Chứng minh tương tự như câu a), ta có trọng tâm G’ của tam giác ({D_1}AC) nằm trên đường chéo (D{B_1}) và (DG' = {1 over 2}G'{B_1}.) Từ đó và kết quả của câu a), suy ra G và G’ chia đường chéo ({B_1}D) thành ba phần bằng nhau.

Vậy ({B_1}G' = {2 over 3}{B_1}D.)

c) Do (A,,{D_1},,C) lần lượt là trung điểm của (P{B_1},,Q{B_1},,R{B_1}) nên

(PQ//A{D_1},,QR//{D_1}C,,RP//CA.)

Từ đó suy ra: (left( {PRQ} ight)//left( {A{D_1}C} ight).)

Mặt khác, theo câu b), ta có (left( {{D_1}AC} ight)//left( {B{A_1}{C_1}} ight),) nên (left( {PRQ} ight)//left( {B{A_1}{C_1}} ight).)

d) Vì (A,,{D_1},,C) lần lượt là trung điểm của ({B_1}P,,{B_1}Q,,{B_1}R) nên trọng tâm G” của tam giác PRQ phải nằm trên đường thẳng ({B_1}G') và ({B_1}G' = 2{B_1}G'.) Mặt khác ({B_1}G' = {2 over 3}{B_1}D,) nên

({B_1}G' = {4 over 3}{B_1}D Rightarrow {B_1}D = {3 over 4}{B_1}G'.)

Vậy D là trọng tâm tứ diện ({B_1}PQR.)

zaidap.com