Bài 8 trang 17 sgk hình học lớp 10

Bài 8 trang 17 sgk hình học lớp 10

Bài 8. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Bài 8. Cho lục giác (ABCDEF). Gọi (M, N, P, Q, R, S) lần lượt là trung điểm của các cạnh (AB, BC, CD, DE, EF, FA). Chứng minh rằng hai tam giác (MPR) và (NQS) có cùng trọng tâm.

Giải

(MN) là đường trung bình của tam giác (ABC) nên ta có:

      (overrightarrow {MN}  = {1 over 2}overrightarrow {AC} )

Tương tự ta có:        

  (eqalign{
& overrightarrow {PQ} = {1 over 2}overrightarrow {CE} cr
& overrightarrow {RS} = {1 over 2}overrightarrow {EA} cr} )

(eqalign{
& Rightarrow overrightarrow {MN} + overrightarrow {PQ} + overrightarrow {RS} = {1 over 2}left( {overrightarrow {AC} + overrightarrow {CE} + overrightarrow {EA} } ight) = {1 over 2}overrightarrow {AA} = overrightarrow 0 cr
& Rightarrow overrightarrow {MN} + overrightarrow {PQ} + overrightarrow {RS} = overrightarrow 0 (1) cr
& cr} )   

Gọi (G) là trong tâm của tam giác (MPR), ta có:

        (overrightarrow {GM}  + overrightarrow {GP}  + overrightarrow {GR}  = overrightarrow 0 (2))

Mặt khác : 

(eqalign{
& overrightarrow {MN} = overrightarrow {MG} + overrightarrow {GN} cr
& overrightarrow {PQ} = overrightarrow {PG} + overrightarrow {GQ} cr
& overrightarrow {RS} = overrightarrow {RG} + overrightarrow {GS} cr} )

(Rightarrow overrightarrow {MN}  + overrightarrow {PQ}  + overrightarrow {RS}  = left( {overrightarrow {MG}  + overrightarrow {PG}  + overrightarrow {RG} } ight) + overrightarrow {GN}  + overrightarrow {GQ}  + overrightarrow {GS} (3))

Từ (1),(2), (3) suy ra: (overrightarrow {GN}  + overrightarrow {GQ}  + overrightarrow {GS}  = overrightarrow 0 )

Vậy (G) là trọng tâm của tam giác (NQS)

soanbailop6.com