Bài 77 trang 169 SBT Toán 9 Tập 1

Bài 8: Vị trí tương đối của hai đường tròn

Bài 77 trang 169 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn (M ∈ (O), N ∈ (O’)). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng:

a. MNQP là hình thang cân.

b. PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

c. MN + PQ = MP + NQ.

Lời giải:

a. Vì M và P đối xứng qua trục OO’ nên OO’ là đường trung trực của MP

Suy ra: OP = OM

Khi đó P thuộc (O) và MP ⊥ OO’    (1)

Vì N và Q đối xứng qua trục OO’ nên OO’ là đường trung trực của NQ

Suy ra: O’N = O’Q

Khi đó Q thuộc (O’) và NQ ⊥ OO’    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MP // NQ

Tứ giác MNPQ là hình thang

Vì OO’ là đường trung trực của MP và NQ nên OO’ đi qua trung điểm hai đáy hình thang MNQP, OO’ đồng thời cũng là trục đối xứng của hình thang MNQP nên MNQP là hình thang cân.

b. Ta có: MN ⊥ OM (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: QP ⊥ OP tại P

Vậy PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Ta có: MN ⊥ O’N (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: QP ⊥ O’Q tại Q

c. Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt MN tại E và PQ tại F

Trong đường tròn (O), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

EM = EA và FP = FA

Trong đường tròn (O’), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

EN = EA và FQ = FA

Suy ra: EM = EA = EN = (1/2).MN

FP = FA = FQ = (1/2).PQ

Suy ra : MN + PQ = 2EA + 2FA = 2(EA + FA) = 2EF    (9)

Vì EF là đường trung bình của hình thang MNQP nên :

EF = (MP + NQ)/2 hay MP + NQ = 2EF    (10)

Từ (9) và (10) suy ra: MN + PQ = MP + NQ

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 9 (SBT Toán 9)