Bài 76 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh các bất đẳng thức:...

Chứng minh các bất đẳng thức

a) |a + b| < |1 + ab| với |a| < 1; |b| < 1

b) ({1 over {n + 1}} + {1 over {n + 2}} + ….. + {1 over {2n}} ge {1 over 2}) với mọi n ∈ N*

c) ({{a + b} over {1 + a + b}} le {a over {1 + a}} + {b over {1 + b}}) với mọi a ≥ 0; b ≥ 0. Khi nào có đẳng thức?

Đáp án

a) Ta có:

 |a + b| < |1 + ab|  ⇔ (a + b)² < (1 + ab)²

⇔ a²b² – a² – b² + 1 > 0 ⇔ a²(b² – 1) – (b² – 1) > 0

⇔ (a² – 1)(b² – 1) > 0  (luôn đúng vì a² < 1 và b² < 1)

Vậy với |a| < 1; |b| < 1 thì |a + b| < |1 + ab|

b) Ta có:

({1 over {n + 1}} ge {1 over {2n}};,,,{1 over {n + 2}} ge {1 over {2n}};,,…..;,,{1 over {2n}} = {1 over {2n}})

Do đó:

({1 over {n + 1}} + {1 over {n + 2}} + ….. + {1 over {2n}} ge underbrace {{1 over {2n}} + {1 over {2n}} + …. + {1 over {2n}}}_n )
(Rightarrow {1 over {n + 1}} + {1 over {n + 2}} + ….. + {1 over {2n}} ge n{1 over {2n}} = {1 over 2}  )

Vậy ta được điều phải chứng minh.

c) Vì a ≥ 0; b ≥ 0 nên:

({{a + b} over {1 + a + b}} = {a over {1 + a + b}} + {b over {1 + a + b}} le {a over {1 + a}} + {b over {1 + b}})

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0