Bài 6 trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao, Cho khối chóp S.ABC cố đường cao S/4 bằng a, đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Gọi B' là trung...

Bài 6. Cho khối chóp (S.ABC) có đường cao (SA) bằng (a), đáy là tam giác vuông cân có (AB = BC = a). Gọi (B’) là trung điểm của (SB, C’) là chân đường cao hạ từ (A) của tam giác (SAC).

a) Tính thể tích khối chóp (S.ABC).

b) Chứng minh rằng (SC) vuông góc với mp ((AB’C’)).

c) Tính thể tích khối chóp (S.AB’C’).

Giải

a) Thể tích khối chóp (S.ABC) là: ({V_{S.ABC}} = {1 over 3}{S_{ABC}}.SA = {1 over 6}{a^2}.a = {{{a^3}} over 6})

b) Ta có (BC ot BA) và (BC ot SA) nên do đó (AB’ ot BC)

Ta có (AB’ ot SB) và (AB’ ot BC) nên (AB’ ot SC) (do (AB’ ot left( {SBC} ight)) )

Theo giả thiết (SC ot AC’), (SC ot AB’) (chứng minh trên) ( Rightarrow SC ot left( {AB’C’} ight))

c) Ta có (AC’) là đường cao trong tam giác vuông (SAC) nên ({{SC’} over {SC}} = {{SC’.SC} over {S{C^2}}} = {{S{A^2}} over {S{C^2}}} = {{{a^2}} over {3{a^2}}} = {1 over 3})

Từ đó suy ra ({{{V_{S.AB’C’}}} over {{V_{S.ABC}}}} = {{SA} over {SA}}.{{SB’} over {SB}}.{{SC’} over {SC}} = {1 over 2}.{1 over 3} = {1 over 6})

Vì ({V_{S.ABC}} = {{{a^3}} over 6}) nên ({V_{S.AB’C’}} = {{{a^3}} over {36}})