Bài 6 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Bài 6 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

6. Chứng minh rằng các hàm số sau

Bài 6. Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc (x):

a) (sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x);

b) ({cos ^2}left ( frac{pi }{3}-x ight )+ {cos ^2} left ( frac{pi }{3}+x ight ) +  {cos ^2}left ( frac{2pi }{3}-x ight )) (+{cos ^2}  left ( frac{2pi }{3}+x ight )-2sin^2x).

Lời giải:

a) Ta có:

(y' = 6{sin ^5}x.cos x - 6{cos ^5}x.sin x + 6sin x.cos^3x -  6{sin ^3}x.cos x)

(= 6{sin ^3}x.cos x(sin^2 x - 1) + 6sin x.cos^3 x(1 - {cos ^2}x))

(=  - 6{sin ^3}x.cos^3 x + 6{sin ^3}x.cos^3 x = 0).

Vậy (y' = 0) với mọi (x), tức là (y') không phụ thuộc vào (x).

 b)

(y = {{1 + cos left( {{{2pi } over 3} - 2x} ight)} over 2} + {{1 + cos left( {{{2pi } over 3} + 2x} ight)} over 2} + {{1 + cos left( {{{4pi } over 3} - 2x} ight)} over 2} )

          (+ {{1 + cos left( {{{4pi } over 3} + 2x} ight)} over 2} - 2{sin ^2}x)

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta được

(y' =sin left ( frac{2pi }{3}-2x ight ) - sin left ( frac{2pi }{3}+2x ight )+ sin left ( frac{4pi }{3}-2x ight ) - sin left ( frac{4pi }{3}+2x ight ))

(- 2sin 2x = 2cos frac{2pi }{3}.sin(-2x) + 2cos frac{4pi }{3}. sin (-2x) - 2sin 2x )

(= sin 2x + sin 2x - 2sin 2x = 0),

vì (cos frac{2pi }{3}) = (cos frac{4pi }{3}) = ( -frac{1}{2}).

Vậy (y' = 0) với mọi (x), do đó (y') không phụ thuộc vào (x).

 soanbailop6.com