Bài 57 trang 92 sgk Toán 8 tập 2, Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Có nhận xét gì về vị...

Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm H, D, M.

Giải

+Nhận xét: D luôn nằm giữa H và M.

+Chứng minh: AD là đường phân giác của ∆ABC.

=>({{AB} over {AC}} = {{DB} over {DC}})  AB < AC

=>DB < DC => DB + DC < DC + DC

=>BD + DC < 2DC hay BC < 2DC => DC >({{BC} over 2})

Mà (MC = {{BC} over 2}) (M là trung điểm của BC)

=>DC > MC =>M nằm giữa D và C (1)

+Mặt khác: (widehat {CAH} = {90^0} – hat C) (∆CAH vuông tại H)

(hat A + hat B + hat C = {180^0}) (tổng 3 góc ∆ABC)

=>(widehat {CAH} = {{hat A + hat B + hat C} over 2} – hat C)

=>(widehat {CAH} = {{hat A} over 2} + {{hat B} over 2} – {{hat C} over 2} = {{hat A} over 2} + {{hat B – hat C} over 2})

Vì AB < AC =>(widehat C < widehat B Rightarrow widehat B – widehat C > 0)

Do đó: (widehat {CAH} > {{hat A} over 2}) hay (widehat {CAH} > widehat {CAD})

=>Tia AD nằm giữa hai tia AH và AC =>D nằm giữa hai điểm H và C (2)

Từ (1) và (2) => D nằm giữa H và M.